第三节行列式的性质 从行列式的定义我们可以看出,要利用 行列式的定义来计算行列式的值是比较麻烦 的,因为它要涉及到n!项的和,而且每一项 均为n个因子相乘。本节我们将讲述行列式的 一些基本性质,以后我们计算行列式的值主 要是采用本节的性质将行列式化为上三角形 式或下三角形式,然后利用第二节的例2的到 行列式的值
第三节 行列式的性质 从行列式的定义我们可以看出，要利用 行列式的定义来计算行列式的值是比较麻烦 的，因为它要涉及到n!项的和，而且每一项 均为n个因子相乘。本节我们将讲述行列式的 一些基本性质，以后我们计算行列式的值主 要是采用本节的性质将行列式化为上三角形 式或下三角形式，然后利用第二节的例2的到 行列式的值
定理1n阶行列式的值也可以定义为 D=∑(-1) 1q2 qnq2…qn 其中t为排列q192…9的逆序数。 证:按行列式的定义我们有 D=∑(-1) P1"2P2 pp2…P 记 1) 1a,2 q1q2…qn 对行列式的任一项(1)an2nam…am…am, 其中行标排列为标准顺序排列12 n,而t为 列标排列PP2…p…p…P,的逆序数。如果我们记t为
定理1 n阶行列式的值也可以定义为 其中t 为排列 的逆序数。 (-1) 1 2 n 1 2 q q q 1 2 t = D aq aq aqn n q1 q2 qn 证：按行列式的定义我们有 (-1) 1 2 n 1 2 p p p 1 2 t = p p npn D a a a 记 (-1) 1 2 n 1 2 q q q 1 2 t 1 = D aq aq aqn n 对行列式的任一项 i j npn a p a p ai p aj p a 1 1 2 2 t (-1) ， 其中行标排列为标准顺序排列12…i…j…n，而t 为 列标排列 p1 p2 pi pj pn 的逆序数。如果我们记t为
行标排列和列标排列的逆序数之和,则 1)a P12p2 amn=(1)a,n,a P2in∴"amp…a 我们把元素am和am对换一下,得到 P1"2P2 。在作这一变换的过程中 行标排列由12.…n变为12…….n,其逆序数 的奇偶性发生了改变同时,列标排列由PP2p…P… 变为PP2…p…P…P,其逆序数的奇偶性也改变了,因 此,若记t"为对换后的行标排列和列标排列的逆序数 的和,则t的奇偶性和t的奇偶性相同。所以我们有 P12p2 (-1)a1 P12p2ainp.…a
行标排列和列标排列的逆序数之和，则 i j n i j npn a p a p ai p aj p anp a p a p ai p aj p a 1 2 ' 1 2 1 2 t 1 2 t (-1) = (-1) 我们把元素 aipi 和 ajpj 对换一下，得到 j i npn a p a p aj p ai p a 1 2 ' 1 2 t (-1) 。在作这一变换的过程中， 行标排列由12…i…j…n变为12…j…i…n，其逆序数 的奇偶性发生了改变；同时，列标排列由 变为 ，其逆序数的奇偶性也改变了，因 此，若记t为对换后的行标排列和列标排列的逆序数 的和，则t的奇偶性和t的奇偶性相同。所以我们有 p1 p2 pi pj pn p1 p2 pj pi pn i j n j i npn a p a p ai p aj p anp a p a p aj p ai p a 1 2 '' 1 2 ' 1 2 t 1 2 t (-1) = (-1)
经过一次对换结果如此,经过多次对换结果当然 还是如此。于是,经过若干次对换,使得:列标排列 P1P2PiPi'p(逆序数为t)变为标准排列(逆序数为 0);行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列 设此排列为99,实逆序数为s,则有 (1)a,,a p2 qnn 若=j,则P=i(即an==a)可见排列442q 是由排列PP2P…P雕一确定的。 因此,D中任一项(-1)an42n2…am…am…am,总 有且仅有D中的某一项(1)an12…4与之对应并相 等。而显然和的项数是相等的,因此D和D1的项可
经过一次对换结果如此，经过多次对换结果当然 还是如此。于是，经过若干次对换，使得：列标排列 p1 p2 pi pj p （逆序数为 n t）变为标准排列（逆序数为 0）；行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列， 设此排列为 q1 q2 ，其逆序数为 qn s，则有 a p a p ai pi aj pj anpn aq 1 aq 2aqn n s 1 2 t 1 2 1 2 ' (-1) = (-1) 若 pi = j ，则 p j = i （即 aipi = aij = aq j j ）可见排列 是由排列 唯一确定的。 q1 q2 qn p1 p2 pi pj pn 因此， 中任一项 i j npn a p a p ai p aj p a 1 1 2 2 t (-1) ，总 有且仅有 D1 中的某一项 aq 1 aq 2 aqn n s 1 2 (-1) (-1) a a a q11 q2 2 qn s n 与之对应并相 等。而显然和的项数是相等的，因此 和 的项可 D D D1
以一一对应并且相等,从而D=D。 记 12 C C D 22 12 22 2 nn 称D为行列式D的转置行列式。 性质1行列式D和它的转置行列式D相等。 证:记行列式D的转置行列式D为
以一一对应并且相等，从而 D = D1 。 记 n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = n n n n n n a a a a a a a a a D 1 2 12 22 2 11 21 1 ' = 称D为行列式D的转置行列式。 性质1 行列式D和它的转置行列式D相等。 证： 记行列式D的转置行列式D为