《线性代数》第六章 二次型（6.1）二次型的定义及其矩阵表示

第六章二次型

第六章 二次型

第一节二次型的 定义 及其矩阵表示

第一节 二次型的 定义 及其矩阵表示

定义1含有n个变量的二次齐次函数 f(x,x2…,xn)=a1x2+a2x2…+anx2+ 2a2x2+23xx3+…+2an21nx1xn(1) 称为二次型。当a1为复数时,f称为复二次型。 当a为实数时,f称为实二次型,本章仅讨论实 二次型。 若令 1<J f(x1,x2…xn)=a1x2+a2x1x2+…+anxn+ 21x2X1+a22x2+…+a2mx2xn+ +an,Xx+2m2七n2+……+amn

定义1 含有n个变量的二次齐次函数 称为二次型。当aij为复数时，f 称为复二次型。 当aij为实数时，f 称为实二次型，本章仅讨论实 二次型。 若令 则 2 2 2 1 2 11 1 22 2 12 1 2 13 1 3 1, 1 ( , , , ) 2 2 2 (1) n nn n n n n n f x x x a x a x a x a x x a x x a x x − − = + + + + + + + a a i j ji ij =  2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 2 2 ( , , , ) n1 a n n n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x x x a x x a x = + + + + + + + + + + + +

即f(x1x,…x)=∑∑ 若记Aa21a2 X三 则 n2 f(x,x2…,xn)=∑∑axx1=x'Ax 把A称为二次型(1)对应的矩阵,A的秩称为二 次型(1)的秩

即 把A称为二次型（1）对应的矩阵，A的秩称为二 次型（1）的秩。 1 2 1 1 ( , , ) n n n ij i j i j f x x x a x x = = =  11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , n n n n nn n a a a x a a a x A x a a a x             = =                 若记 则 1 2 1 1 ( , , , ) ' n n n ij i j i j f x x x a x x x Ax = = = =  

例1求二次型 f(x,x2…x)=x2-x2+5x2x3+2x32+4x2 解 1000 0004

例1 求二次型 解 2 2 2 2 1 2 1 2 2 3 3 4 ( , , , ) 5 2 4 n f x x x x x x x x x = − + + + 5 2 5 2 1 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 4 A     −   =      