《线性代数》第四章 线性方程组（4.2）齐次线性方程组

第二节齐次线性 方程组 System of homogenous linear equations

第二节 齐次线性 方程组 System of homogenous linear equations

齐次线性方程组有非零解的条件 讨论齐次线性方程组 1x+a2x2+…+a1nxn=0 a21x1+a2x2+…+a2nxn=0 nn an1+m2x2+…+anxn=0

一、齐次线性方程组有非零解的条件 ❖ 讨论齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 (1) 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =     + + + =

若记 11 A x m2 则齐次线性方程组可表示为 AX0 其中矩阵A称为齐次线性方程组的系数矩阵

❖ 若记 则 齐次线性方程组可表示为 Ax=0 (2) 其中矩阵A称为齐次线性方程组的系数矩阵。 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a     =           1 2 n x x x x     =          

令假设其系数矩阵的秩R(A)=r>0,为了方 便起见,不妨设 12 D 21 22 ≠0 2 由于上面假设D≠0,即系数矩阵A的前r列列向 量线性无关,因此经过有限次初等行变换可得 矩阵A的行最简形为

❖ 假设其系数矩阵的秩R（A）= r ＞0，为了方 便起见，不妨设 ❖ 由于上面假设D≠0，即系数矩阵A的前r列列向 量线性无关，因此经过有限次初等行变换可得 矩阵A的行最简形为 11 12 1 21 22 2 1 2 0 r r r r rr a a a a a a D a a a  

0 1.r+1 0 B r’,r+1 0 0 0 0

1, 1 1, , 1 , 1 0 0 1 0 0 0 0 r n r r r n c c c c B + +   − −   − − =  