第五节矩阵的秩和向量组的秩
第五节 矩阵的秩和向量组的秩
定理1(1)若矩阵A经过有限次初等行变 换变成B,则A的行向量组与B的行向量组等价 而A的任意k个列向量与B中对应的k个列向量 有相同的线性相关性。 (2)若矩阵A经过有限次初等列变换变 成B,则A的列向量组与B的列向量组等价;而 A的任意k个行向量与B中对应的k个行向量有 相同的线性相关性
定理1 （1）若矩阵A经过有限次初等行变 换变成B，则A的行向量组与B的行向量组等价； 而A的任意k个列向量与B中对应的k个列向量 有相同的线性相关性。 （2）若矩阵A经过有限次初等列变换变 成B，则A的列向量组与B的列向量组等价；而 A的任意k个行向量与B中对应的k个行向量有 相同的线性相关性
证明: (1)当矩阵A经某个初等变换变为B时,B 的行向量组能由A的行向量组线性表示;而B 经过这个初等行变换的逆变换(仍为初等行变 换)可变为A,因而A的行向量组也能由B的行 向量组线性表示。于是矩阵A,B的行向量组 等价。 由于矩阵A,B的行向量组等价,因此方程 组A=0与Bx=0同解。所以A的任意k个列向 量与B的相应的k个列向量有相同的线性相关性。 (为什么?请思考!)
证明: （1）当矩阵A经某个初等变换变为B时，B 的行向量组能由A的行向量组线性表示；而B 经过这个初等行变换的逆变换（仍为初等行变 换）可变为A，因而A的行向量组也能由B的行 向量组线性表示。于是矩阵A，B的行向量组 等价。 由于矩阵A，B的行向量组等价，因此方程 组Ax = 0与Bx= 0同解。所以A的任意k个列向 量与B的相应的k个列向量有相同的线性相关性。 （为什么？请思考！）
定义1矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩 A的列向量组的秩称为A的列秩。 定理2设A为一个矩阵,则A的行秩=A的列秩= 矩阵A的秩。 证: 对A进行初等行变换将其化为行阶梯形U,则 由定理1(1)知道A的行向量组与U的行向量组 等价,故 A的行秩=U的行秩; 同时,由定理1(1)的后半部分结论知道 A的列秩=U的列秩。 而对于行阶梯形矩阵U来说,显然 U的行秩=U的列秩=矩阵U的秩, 因此定理2的结论成立
定义1 矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩； A的列向量组的秩称为A的列秩。 定理2 设A为一个矩阵，则A的行秩＝A的列秩＝ 矩阵A的秩。 证: 对A进行初等行变换将其化为行阶梯形U，则 由定理1（1）知道A的行向量组与U的行向量组 等价，故 A的行秩＝U的行秩； 同时，由定理1（1）的后半部分结论知道 A的列秩＝U的列秩。 而对于行阶梯形矩阵U来说，显然 U的行秩＝U的列秩＝矩阵U的秩， 因此定理2的结论成立
定理3设A为n阶方阵,则R(A)=n的充分必要条 件为|A|≠0。 证“充分性∈”:设A0,则由 Cramer法则 知道Aⅹ=0只有零解。故A的列向量组线性无 关,因此由定理2知道R(A)=n “必要性→”:设R(A)=n,则A的标准型为 n阶单位矩阵E,即存在可逆矩阵P,Q使得 PAQ=En。等式两边取行列式则有A|≠0
定理3 设A为n阶方阵，则R(A)＝n的充分必要条 件为 |A|≠0。 证 “充分性” ： 设|A|≠0，则由Cramer法则 知道Ax＝0只有零解。故A的列向量组线性无 关，因此由定理2知道R(A)＝n。 “必要性”：设R(A)＝n，则A的标准型为 n阶单位矩阵En，即存在可逆矩阵P，Q使得 PAQ＝E n。等式两边取行列式则有|A|≠0