第四节综合与提高
第四节 综合与提高
齐次线性方程组 例1设A为n阶矩阵,证明 R(A)=R(AA)。 证明由于若Ax=0,有AAx=0,这说明凡是 Ax=0的解必为AAx=0的解 另一方面,若AAx=0,我们记AxG=y,则有 yy=xAAx=x(AAx)=0,则y=0,亦 即Ax=0。这说明凡是AAx=0的解必为Ax=0的 解。故AAx=0与Ax=0的同解。当两齐次线性 方程组同解,意味着它们的基础解系包含的向 量个数相等,亦即有: n-R(A)=n-R(A'A 所以R(A)=R(AA)
一、齐次线性方程组 例1 设A为n阶矩阵，证明 R（A）=R（AA）。 证明 由于若Ax=0，有AAx=0，这说明凡是 Ax=0的解必为AAx=0的解。 另一方面，若A‘Ax=0，我们记Ax=y，则有 yy=x AAx=x（AAx）=0，则y=0，亦 即Ax=0。这说明凡是AAx=0的解必为Ax=0的 解。故AAx=0与Ax=0的同解。当两齐次线性 方程组同解，意味着它们的基础解系包含的向 量个数相等，亦即有： n－ R(A)=n－R(AA) 所以 R(A)=R(AA)
例2已知齐次线性方程组 0 C1x1+a12X+…+a1,x,,=( 1.2 x,+a2 x2 anx+an2x2+.+an2nx2n=o 的一个基础解系为 12 b1 2n 21,122,,12,2n/, 2 2
例2 已知齐次线性方程组 的一个基础解系为 (b11，b12，…，b1，2n )' ， (b21，b22，…，b2，2n )' ，…, (bn1，bn2，…，bn，2n )' ， 11 1 12 2 1,2 2 21 1 22 2 2,2 2 1 1 2 2 ,2 2 0 0 (1) 0 n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + =
试写出线性方程组 1y1+b2V2+…+b2ny2n=0 b,V1+b,1+…+b y1 2.2n2n =0 bny+b,y,+…+b n2n.2n 的通解,并说明理由。 解我们记线性方程组(1)(2)的系数矩阵分 别为A,B,由于
试写出线性方程组 的通解，并说明理由。 解 我们记线性方程组（1）（2）的系数矩阵分 别为A，B，由于 11 1 12 2 1,2 2 21 1 22 2 2,2 2 1 1 2 2 ,2 2 0 0 (2) 0 n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y + + + = + + + = + + + =
11 12 2n 21,225 2,n (bn1,bn2,…,bn,2)为(1)的一个基础解系,则 AB=0,亦即有BA=(AB)=O,此说明A的n个 行向量的转置向量为(2)的n个解向量。 另一方面,由于B的秩为n,则以B为系数矩阵 的方程组(2)的解空间的维数为2n-n=n。而 R(A)为2n与(1)的解空间维数的差,即为n,故 有A的n个行向量线性无关,从而A的n个行向量的 转置向量构成了(2)的一个基础解系,于是 (2)的通解为 y=c1(a1,a12,…,a12n)+c2(a21a2,…,a2n)+ FC n." 3n 2n 其中C1,c2,…cn为任意实数
(b11，b12，…，b1，2n )' ,(b21，b22, …，b2，n )' ，…， (bn1，bn2，…，bn，2n )‘为（1）的一个基础解系，则 AB’ =0，亦即有BA‘=（AB’)‘=O，此说明A的n个 行向量的转置向量为（2）的n个解向量。 另一方面，由于B的秩为n，则以B为系数矩阵 的方程组（2）的解空间的维数为2n－n=n。而 R(A)为2n与（1）的解空间维数的差，即为n，故 有A的n个行向量线性无关，从而A的n个行向量的 转置向量构成了（2）的一个基础解系，于是 （2）的通解为 y=c1 (a11, a12，…,a1,2n )'+c2 (a21,a22，…,a2,2n )' +… +cn (an1 ,an2 ,…,an,2n ) ' 其中c1， c2，… cn为任意实数