《线性代数》第四章 线性方程组（4.3）非齐次线性方程组

第三节非齐次线性方程组

第三节 非齐次线性方程组

对非齐次线性方程组 +a1x+…+a,x.=b 2x2+…+ 十an,2x+…+a X mnn A XX ≠0

对非齐次线性方程组 令 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =     + + + = 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a     =           n m x b x b x b x b         = =                      1 1 2 2 ， 0

则原来的方程组可以表示为 Axb (2) 如果令 则原来的方程组也可以表示为 X1a X202 ■ +x.=b

则原来的方程组可以表示为 Ax=b （2） 如果令 则原来的方程组也可以表示为 x1a1+x2a2+…+xnan=b 1 2 ( 1,2, , ) j j j mj a a a j n a       = =        

称方程组 AX0 为原来的非齐次线性方程组所对应的齐次线性方 程组。 、非齐次线性方程组有解的条件 B 22 称此矩阵为原来非齐次方程组的增广矩阵

称方程组 Ax=0 为原来的非齐次线性方程组所对应的齐次线性方 程组。 一、非齐次线性方程组有解的条件 令 称此矩阵为原来非齐次方程组的增广矩阵。 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n m m mn m a a a b a a a b B a a a b     =          

则下面的四种提法是等价的: 非齐次线性方程组(1)有解; 1)向量b能由向量组a1,a2,…an线性表示; Ⅲ向量组a1,a2,…an与向量组a1,a2,…an, b等价; MVR(A)ER(B) 即有下列定理成立 定理1非齐次线性方程组(1)有解的充分必要 条件是它的系数矩阵A与增广 矩阵B的秩相等

则下面的四种提法是等价的： I) 非齐次线性方程组（1）有解； II) 向量b能由向量组a1，a2，…an线性表示； III)向量组a1，a2，…an与向量组a1，a2，…an， b等价； IV) R（A）=R（B）。 即有下列定理成立 定理1 非齐次线性方程组（1）有解的充分必要 条件是它的系数矩阵A与增广 矩阵B的秩相等