《线性代数》第五章 矩阵的相似对角化（5.2）实对称矩阵的相似对角化

第二节实对称矩阵 的相似对角化

第二节 实对称矩阵 的相似对角化

如上面的讨论中看到的,一般的方阵不一定可对角化, 但对于在应用中常常遇到的实对称矩阵(满足A=A 的实矩阵),不仅一定可以对角化,而且解决起来 要简便得多,这是由实对称矩阵的特征值和特征向 量的特性所决定的。 定理1实对称矩阵的特征值为实数。 设复数λ为实对称矩阵A的特征值,复向量x为对应的 特征向量,即Ax=x,x≠0。用入表示λ的共轭复数, X表示x的共轭复向量,则

❖ 如上面的讨论中看到的,一般的方阵不一定可对角化， 但对于在应用中常常遇到的实对称矩阵（满足A=A 的实矩阵），不仅一定可以对角化，而且解决起来 要简便得多，这是由实对称矩阵的特征值和特征向 量的特性所决定的。 定理1 实对称矩阵的特征值为实数。 设复数为实对称矩阵A的特征值，复向量x为对应的 特征向量，即Ax=x，x0。用 表示的共轭复数， 表示x的共轭复向量，则 λ x

Ax=AX=(Ax)=(x)=入X 于是有 xAx=x(Ax)=x^x=入x'x xAx=(xA)x=(Ax)x=(入x)x=入xx 两式相减,得 (-)xx=0 但因x≠0,所以 x=∑xx=∑x1|≠0 故λ-x=0,即λ=,这就说明入为实数

于是有 两式相减，得 但因x  0，所以 故 ，即 ，这就说明为实数。 Ax = Ax = (Ax) = (x) = x x x x x x x x x x x. x x x x x x x x,  =   =  =   =    =  =  =   A ( A ) (A ) ( ) A (A ) ( − )xx = 0 x x | x | 0, 2 n i 1 i n i 1  =  i i =   = = x x  −  = 0  = 

定理2设λ1,λ2是实对称阵A的两个特征值, p1,p2是对应的特征向量。若λ1≠λ2,则p1,p2 正交。 证1p1=Ap1,λ2p2=Ap2,^1≠λ2。 因A对称,故 λ1p1=(1p1)=(Ap1)=p1A=p1A, 于是, A1p1p2=p1Ap2=p1(2p2)=2p1p2, 即(A2-1)p1p2=0 但A1≠2,故p1p2=0,即p1与p2正交

定理2 设1，2是实对称阵A的两个特征值， p1，p2是对应的特征向量。若1  2，则p1，p2 正交。 证 1 p1 = A p1，2p2 = Ap2，1  2。 因A对称，故 1p1 = (1p1) = (A p1) = p1A = p1A， 于是， 1p1p2 = p1Ap2 = p1 (2p2) = 2p1p2， 即 (2−1) p1p2 = 0 但1  2，故p1p2 = 0，即p1与p2正交

定理3设A为n阶对称阵,λ为A的特征方程的r重 根,则方阵A-E的秩R(A-E)=n-r,从而对应 特征值λ恰有r个线性无关的特征向量。 由此定理再结合上一节定理1,容易得到如下结 论:n阶对称阵A必有n个线性无关的特征向量,从 而n阶对称阵一定可以对角化。不仅如此,将实对称 阵A相似变换成对角阵的相似变换矩阵还可以是正 交阵。 定理4设A为n阶实对称阵,则必有正交阵P,使 P-1AP=A,其中A是以A的n个特征值为对角元素 的对角阵

定理3 设A为n阶对称阵，为A的特征方程的r重 根，则方阵A − E的秩R (A −E) = n − r，从而对应 特征值恰有r个线性无关的特征向量。 由此定理再结合上一节定理1，容易得到如下结 论：n阶对称阵A必有n个线性无关的特征向量，从 而n阶对称阵一定可以对角化。不仅如此，将实对称 阵A相似变换成对角阵的相似变换矩阵还可以是正 交阵。 定理4 设A为n阶实对称阵，则必有正交阵P，使 P−1AP = ，其中是以A的n个特征值为对角元素 的对角阵