第三节约当( Jordan 标准形简介
第三节 约当(Jordan) 标准形简介
上一节定理1说明,n阶矩阵A与对角阵相似的 充要条件是A有n个线性无关的特征向量。本节 说明当只有m(m<n)个线性无关的特征向量时, A一定与由约当块组成的约当形矩阵相似。 约当块和约当形矩阵 定义1形如
❖ 上一节定理1说明，n阶矩阵A与对角阵相似的 充要条件是A有n个线性无关的特征向量。本节 说明当只有m (m<n)个线性无关的特征向量时, A一定与由约当块组成的约当形矩阵相似。 一. 约当块和约当形矩阵 定义1 形如 = s 2 1 J J J J
其中 叫做约当形矩阵,J叫做约当块。 当J=队1,J2=[2],…,Js=Dλs]都是一阶 约当块时,J为对角阵,所以对角阵为约当阵的特 例 A和约当形矩阵相似,即存在可逆阵P,使得
其中： 叫做约当形矩阵，Ji叫做约当块。 当J1 = [1]，J2 = [2]，…，Js = [s]都是一阶 约当块时，J为对角阵，所以对角阵为约当阵的特 例。 A和约当形矩阵相似，即存在可逆阵P，使得 = i i i i 1 1 J
PAP=J= J中的显然是A的特征值,但当≠〕时,和为j可 能相等。然而,P中的列向量却并非都是A的特征向 量。 我们把与A相似的约当标准型矩阵称为A的约当标 准形。约当标准形的理论比较复杂,我们仅介绍这 个理论的要点(不作证明)和约当标准形的方法
Ji中的i显然是A的特征值，但当i j时，i和j可 能相等。然而，P中的列向量却并非都是A的特征向 量。 我们把与A相似的约当标准型矩阵称为A的约当标 准形。约当标准形的理论比较复杂，我们仅介绍这 个理论的要点（不作证明）和约当标准形的方法。 = = − s 2 1 1 J J J P AP J
定义2如矩阵A=(a的元素是的多项式,就称 A为λ矩阵,记作A(久)。 例如A的特征矩阵入E-A是一个λ矩阵。 入矩阵也可以作初等变换,它的三种初等变换为: 1.矩阵的两行列)对换位置。 2.矩阵的某行(列)乘以非零常数; 3.矩阵的某行列)乘多项式p(加到另一行列 定义3矩阵A()经初等变换化为B(),称A)和 B(入)是相抵的,记作A(≌B()
定义2 如矩阵A = (aij)的元素aij是的多项式，就称 A为矩阵，记作A()。 例如A的特征矩阵E − A是一个矩阵。 矩阵也可以作初等变换，它的三种初等变换为： 1. 矩阵的两行(列)对换位置。 2. 矩阵的某行(列)乘以非零常数； 3. 矩阵的某行(列)乘多项式()加到另一行(列)； 定义3 矩阵A()经初等变换化为B()，称A()和 B()是相抵的，记作A()≌B()