第六节综合例题
第六节 综合例题
例1证明:向量组α1(#0),α2,…,αm线性 相关的充分必要条件是其中至少有一个as,1 <ssm,可用α1,a2,…,as-1线性表示 证:“必要性→”设a1,α2,…,αm线性 相关,则存在不全为0的m个数k1k2,…,kn 使得 k1a1+k2a2+…+kmnm=0, 我们记m个数k,kx23…,km中非零的数中下标 最大的那个数为ks,(即k判0,而且当sm时 有k s+1 s+2 .kn=0),则1<s≤m,因 为若s=1,则k1a1=0,从而a1=0,与题 设矛盾!于是k11+k2a2+…+kss=0, 因此
例1 证明：向量组α 1（≠0），α 2，…，α m线性 相关的充分必要条件是其中至少有一个α s , 1 ＜s≤ m, 可用α 1，α2，…，αs－１线性表示． 证: “必要性” 设α 1，α 2，…，α m线性 相关，则存在不全为０的ｍ个数k1 , k2 , …, km 使得 k1α 1＋k2α 2＋…＋kmα m＝０， 我们记ｍ个数k1 , k2 , …, km中非零的数中下标 最大的那个数为k s ,（即k s≠0, 而且当s≠m时 有k s+1= k s+2 =…k m =0），则 １＜ｓ≤ｍ，因 为若ｓ＝１，则k1α 1 ＝0, 从而α 1＝０，与题 设矛盾！于是k1α 1＋k2α 2＋…＋k sα s＝０, 因此
k, “充分性<”设 k1a1+k2a2+…+k。as=0, 则α1,α2,…,α线性相关,于是由第二节 定理3知道 α1,a23…,αm线性相关
“充分性” 设 k1α 1＋k2α 2＋…＋k sα s＝０, 则α 1，α 2，…，α s线性相关，于是由第二节 定理３知道 α 1 , α 2 , …, α m线性相关． 1 2 1 1 2 1 k k k . k k k s s s s s s − = − − − − −
例2设tt2…,t是r个互不相同的数,r≤n, 证明向量组 as=(1,tt2,…,tn-1)(s=1,2,…,r 线性无关 证作矩阵A=(a1,2 (1)当r=n时,det(A)为 Vandermonde行 列式,于是 JAE ∏(t-t) 121>
例2 设t1 , t2 , …, t r是ｒ个互不相同的数，r ≤ n, 证明向量组 α s ＝(1, ts , ts 2 , …, ts n－1 )Ｔ (s =1, 2, …, r) 线性无关． 证 作矩阵Ａ＝(α1 , α 2 , …, α r ), 则 (1) 当ｒ＝ｎ时，det(A)为Vandermonde行 列式，于是 1 2 i j 1 1 1 1 1 2 1 1 1 t t t | | (t t ), t t t n n i j n n n n A − − − = = −
因为i≠j时,轨,因此|A0,所以a1,a 2,…,an线性无关 (2)当r<n时,由矩阵A的定义有R(A)=r,因 此A的r个列向量线性无关。所以 α1,a2…,a,线性无关
因为ｉ≠ｊ时，t i≠tj , 因此 |A|≠0, 所以 α 1 , α 2 , …, α n线性无关． (2) 当ｒ＜ｎ时，由矩阵A的定义有R(A)＝r，因 此A的r个列向量线性无关。所以 α 1 , α 2 , …, α r线性无关