第二节向量组的线性相关性 与线性无关性
第二节 向量组的线性相关性 与线性无关性
冷定义1设α1,2,…,αm,β是一组n维 向量,若存在m个实数k1,k2,…,kn使得 阝=k1a1+k2a2+…+kmam,则称β可以 由α1,α2,…,am线性表示( linear epresentation)。或称α1,Q2,…,am线性 表示( inear generate)阝 例如:a1=(1,2,0)T,a2=(1,0,3),a3= (3,4,3),则a3=2a1+a2,即存在实数k =2,k2=1使得a3=k1a1+k2a2,故Q3可以 由α1,a2线性表示。(大家想一想,这里的常 数k1=2,k2=1是怎么求出来的?)
❖ 定义1 设α1 ，α2 ，…，αm ，β是一组n维 向量，若存在m个实数 k1 ，k2 ，…，km使得 β = k1α1 + k2 α2 + … + km αm ，则称β可以 由α1 ，α2 ，…，αm线性表示( linear representation )。或称α1 ，α2 ，…，αm线性 表示(linear generate)β。 例如：α1 = (1, 2, 0) T ，α2 = (1, 0, 3) T, α3 = (3, 4, 3)T，则α3 = 2α1 + α2 ，即存在实数k1 ＝2，k2 ＝1使得α3 = k1α1 + k2α2，故α3可以 由α1 ，α2线性表示。（大家想一想，这里的常 数k1 ＝2，k2 ＝1是怎么求出来的？）
冷定义2设α1,q2,…,αm是一组n维向量, 如果存在m个不全为0的常数k1,k2,…,kn使得 k1a1+k2a2+…,+kmnm=0,则称向量组 a1,Q2,…,αn线性相关( linearly dependent);否则,称向量组a1,q2,…,αm 线性无关
❖ 定义2 设α1，α2，…，αm是一组n维向量， 如果存在m个不全为0的常数k1，k2，…，km使得 k1 α1 + k2 α2 + … + km αm = 0，则称向量组 α1 ，α2，…，αm线性相关(linearly dependent)；否则，称向量组α1，α2，…，αm 线性无关
例1若一个向量组仅由一个向量Q组成,则由 定义2易知它线性相关的充要条件是α=0。 令例2若一个向量组仅由α,β两个向量组成, 则α,β线性相关是指α,β这两个向量的分量 对应成比例,换句话说,即是指α与β平行或α, β共线 证明:a,β线性相关存在不全为0的两 个数k1,k2使得k1Q+k2B=0,不妨假设k 0,则由k1a+k2阝=0知a=阝,此即说明α β的分量对应成比例
❖ 例1 若一个向量组仅由一个向量α组成， 则由 定义2 易知它线性相关的充要条件是α = 0 。 ❖ 例2 若一个向量组仅由α，β两个向量组成， 则α，β线性相关是指α，β这两个向量的分量 对应成比例，换句话说，即是指α与β平行或α， β共线。 证明： α，β线性相关 存在不全为0的两 个数k1，k2使得k1α + k2β = 0 ，不妨假设k1 0，则由k1 α + k2 β = 0 知α = β, 此即说明α ， β的分量对应成比例
冷注:类似可以证明,若一个向量组仅由α,β, 个向量构成,则α,β,Y线性相关的充要 条件是a,β,V共面 令上述定义2是通过否定线性相关来给出线性无 关的定义,下面我们将用肯定的表述来说明线 性无关这个概念。为此,我们先检查线性相关 的定义。称Q1,Q2,…,am线性相关是指存 在不全为0的m个常数k1,k2…,km使得k1 Q1t,天知级的方程(实际上若 +ka=0 这即是说:以k k1a1+k2a2+….+knm=0有非零解(k1 2
❖ 注： 类似可以证明，若一个向量组仅由α，β， γ三个向量构成，则α，β，γ线性相关的充要 条件是α ，β ，γ共面。 ❖ 上述定义2是通过否定线性相关来给出线性无 关的定义，下面我们将用肯定的表述来说明线 性无关这个概念。为此，我们先检查线性相关 的定义。称α1，α2，…，αm 线性相关是指存 在不全为0的m个常数k1，k2，…，km使得 k1 α1 + k2 α2 + … + km αm = 0 , 这即是说：以k1， k2，…，km为未知数的方程（实际上，若按向 量的分量来看，这是一个方程组）： k1 α1 + k2 α2 + … +km αm = 0 有非零解（k1 ， k2 ，…，km）