《线性代数》第二章 矩阵（2.5）综合例题

第五节综合例题

第五节 综合例题

例1设PAP=A, 10 其中P= ∧ 02 求A

1 11 , 1 4 1 0 , , 1 1 0 2 . P AP P A − =      − − − =  =         例1 设 其中 求

解直接演算可得 k 1)0 故∧ k 0211 且A=PAP- PAPPAP-1…PAP-=PAP 故A1=PAP-1 4(-1)}0(-1-4 1+2 4+2 4-2

11 11 11 1 1 1 1 1 1 11 11 11 1 11 13 13 11 11 ( 1) 0 ( 1) 0 , 0 2 0 2 , 1 4 1 4 ( 1) 0 1 1 1 1 0 2 1 1 2 4 2 . 3 1 2 4 2 k k k k k A P P P P P P P P P P A P P − − − − − − −     − −  =  =         =     =      − − − −   − =  =               + + =     − − − − 解 直接演算可得 故 且 故

注:设f(x)=a0+a1x+a2x2+…+amx A为n阶方阵,则称 f(a)=aoEn+a,A+a2A+.+a 为A的一个m次矩阵多项式。可以归纳证明 若PAP=∧为对角阵,则 f(a=Pf(mP

❖ 注： 设 A为n阶方阵，则称 为A的一个m次矩阵多项式。可以归纳证明 若 为对角阵，则 2 0 1 2 ( ) m m f x a a x a x a x = + + + + 2 0 1 2 ( ) m n m f A a E a A a A a A = + + + + 1 P AP − =  1 f A P f P ( ) ( ) − = 

当A 时,f(x)为多项式,则 00 f(1)0 0f(2): 0 f(A)= 0 f(an) 10 例2设A=021,求A 00A

1 0 2 , . 0 1 0 0 k A A        =       例 设 求 1 2 1 2 0 0 0 0 ， ( ) , 0 0 ( ) 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) n n f x f f f f            =              =         当 时 为多项式 则