第四节IRn的基 和向量关于基的坐 标
第四节 IRn的基 和向量关于基的坐 标
定义1设IRm中的向量组A:a1,a2,…,an 线性无关,β是IRm任一向量, 则β,1,a2…,线性相关(因为这 是n+1个n维向量,向量个数大于向量维数),于 是根据第三章第二节定理2知道向量p可以用a1, 2,…,an唯一线性表示 β=k11+k2a2+….+kn0no 我们称向量组A:a1,a2,…,a为空间 IR的一组基( basis,把数k,k2,…,k称为 向量β在基1,a2…,an下的坐标 ( coordinate),记为 B4=(k1,k2,…,kn)
定义1 设IR n 中的向量组A ：α 1 , α 2 , …, α n 线性无关，β是IR n中任一向量， 则β,α 1 , α 2 , …, α n线性相关（因为这 是n＋1个n维向量，向量个数大于向量维数），于 是根据第三章第二节定理2知道向量β可以用α1 , α 2 , …, α n唯一线性表示 β＝k1α 1 + k2 α 2 + … + k n α n 。 我们称向量组A：α1 , α 2 , …, α n为空间 IR n的一组基(basis), 把数k1 , k2 , …, kn称为 向量β在基α1 , α 2 , …, α n下的坐标 (coordinate)，记为 βA＝（k1 , k2 , …, kn）
例1验证1=(1,0,0), a2=(1,1,0)’,a3=(1,1,1)为IR3 的一组基并求向量a=5,3,5)在这组基 下的坐标。 解显然,向量组a1,a2,a3组成的矩 阵的行列式为 1≠0 011 001
例1 验证α 1 ＝(1，0，0)′, α 2 ＝(1，1，0)′, α 3 ＝(1，1，1)′为IR3 的一组基并求向量α＝(5，3，5)′在这组基 下的坐标。 解 显然，向量组α1 ，α 2，α 3 组成的矩 阵的行列式为 1 1 1 ＝1≠ 0 0 1 1 0 0 1
因此这三个向量线性无关,所以它们构成 IR3的一组基。要求向量a在这组基下的坐 标,实际上就是求解关于x1,x2,x3的 方程组a=x101+x2a2+x3a30 即
因此这三个向量线性无关，所以它们构成 IR3的一组基。要求向量α在这组基下的坐 标，实际上就是求解关于x1 , x 2 , x 3的 方程组α＝ x 1 α 1＋ x 2 α 2 ＋x 3 α 3。 即
+X2+x3 3|=x|0+x21+x311也即{0+x2+x3=3 0+0+x2=5 容易求得x1=2,x2=-2,x3=5 因此向量a在这组基下的坐标为 (2 2,5)
+ + = + + = + + = + + = 0 0 x 5 0 x x 3 x x x 5 1 1 1 x 0 1 1 x 0 0 1 x 5 3 5 3 2 3 1 2 3 1 2 3 也即 容易求得x1 ＝2, x2 ＝－2, x3 ＝5， 因此向量α在这组基下的坐标为 （2 ， －2 ，5）