《线性代数》第五章 矩阵的相似对角化（5.1）矩阵的特征值和特征向量相似矩阵

第五章矩阵的相似对角化

第五章 矩阵的相似对角化

第一节矩阵的特征值和特征向量 相似矩阵

第一节 矩阵的特征值和特征向量 相似矩阵

本节进一步讨论方阵的内在性质,加深对矩阵的 认识和理解,以便更好地使用矩阵解决线性代数中 的问题。 矩阵的特征值和特征向量 定义1设A是n阶矩阵,如果数入和n维非零列向量 x,使关系式 Ax=Nx 成立,则称数λ为矩阵A的特征值( eigenvalue),非 零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量 (eigenvector)

❖ 本节进一步讨论方阵的内在性质，加深对矩阵的 认识和理解，以便更好地使用矩阵解决线性代数中 的问题。 一.矩阵的特征值和特征向量 定义1 设A是n阶矩阵，如果数和n维非零列向量 x，使关系式 Ax =x (1) 成立，则称数为矩阵A的特征值(eigenvalue)，非 零向量x称为A的对应于特征值的特征向量 (eigenvector)

例1试验证 是矩阵 34 A 分别是属于特征值λ1=1和2=-5的特征向量

例1 试验证 是矩阵 分别是属于特征值1 = 1和2= −5的特征向量       −  =        = 1 2 , 1 1       − − = 2 1 3 4 A

证只需验证A=1a,AB=-5: 34 Aa 2 34‖2 10 Aβ 5β 5 式也可以写成, (A-E)x=0 这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组,我们知 道,它有非零解的充分必要条件是系数行列式 A-^E=0 (3)

证 只需验证A = 1，A = −5： (1) 式也可以写成， (A−E)x = 0 (2) 这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，我们知 道，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 |A − E| = 0 (3) = −        − = −      − =      −       − −  =  =       =            − −  = 5 1 2 5 5 10 1 2 2 1 3 4 A 1 1 1 1 1 2 1 3 4 A