第二节n阶行列式的定义
第二节 n 阶行列式的定义
为给出n阶行列式的定义,让我们来分析前面所 讲的三阶行列式的定义。在§1中的(6)我们定义 13 c21C2c2|=cnC2C3+c12c2c31+c13C2132 -C,Cac 31-C12C21C C,, C 112332 对行列式中元素第一个下标表示元素所在 的行,称为行标;第二个下标表示元素所在的列, 称为列标。从上述表达式可以发现三阶行列式有如下 特点: (1)表达式共有3!=6项求代数和。且每项均为
为给出n阶行列式的定义，让我们来分析前面所 讲的三阶行列式的定义。在§1中的（6）我们定义 c c c c c c c c c , c c c c c c c c c c c c c c c c c c 1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 − − − = + + 对行列式中元素 ，第一个下标i表示元素所在 的行，称为行标；第二个下标j表示元素所在的列， 称为列标。从上述表达式可以发现三阶行列式有如下 特点： ij c （1）表达式共有3!＝6项求代数和。且每项均为
不同行不同列的三个元素的乘积 (2)6项中有3项的代数符号为正,3项的代数符 号为负; (3)如果把每一项元素的行标按1、2、3依次排 列,则每一项元素的列标排列分别为123,231,312以 及321,213,132,恰好是1、2、3这三个数的所有可能 的排列。 (4)排列123,231,312的逆序数分别为0,2,2, 而排列321,213,132的逆序数分别为3,1,1,即在6项 求和中,取行标为标准顺序的排列时,其列标排列为 偶排列时,则该项的代数符号为正;当列标排列为奇 排列时,则该项的代数符号为负
不同行不同列的三个元素的乘积； （2）6项中有3项的代数符号为正，3项的代数符 号为负； （3）如果把每一项元素的行标按1、2、3依次排 列，则每一项元素的列标排列分别为123, 231, 312以 及321, 213, 132, 恰好是1、2、3这三个数的所有可能 的排列。 （4）排列123, 231, 312的逆序数分别为0, 2, 2, 而排列321, 213, 132的逆序数分别为3, 1, 1, 即在6项 求和中，取行标为标准顺序的排列时，其列标排列为 偶排列时，则该项的代数符号为正；当列标排列为奇 排列时，则该项的代数符号为负
因此,我们可以把三阶行列式的定义写成 an1a2c3=∑(- C1p, C2p.ps P1p2p3 32C3 33 其中p1p2p3是1、2、3这三个数的一个排列,t是这 个排列的逆序数,共有3!=6项求和。其中求和符号 ∑表示连加。 完全类似,我们可以定义n阶行列式。 定义1设有n2个数,排成n行n列的数表
因此，我们可以把三阶行列式的定义写成 ( 1) . 1 2 3 1 1 2 2 3 3 31 32 33 21 22 23 11 12 13 = − p p p p p p t c c c c c c c c c c c c 其中p1p2p3是1、2、3这三个数的一个排列，t是这 个排列的逆序数，共有3!＝6项求和。其中求和符号 Σ表示连加。 完全类似，我们可以定义n阶行列式。 定义1 设有 个数，排成n行n列的数表 2 n
12 22 2 n3 作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积,并冠以 符号(-),得到形如 P1"2P2 的项,其中P1P2…Pn为自然数1,2, n的 个全排列,t为这个排列的逆序数。由于这样的排 列共有n!个,因此形如(1)式的项共有n项。所有 这n!项的代数和
1 2 3 21 22 2 11 12 1 n n n n n a a a a a a a a a 作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以 符号 , 得到形如 t (−1) p p npn a a a 1 1 2 2 t (-1) (1) 的项，其中 为自然数1，2，……，n的 一个全排列，t为这个排列的逆序数。由于这样的排 列共有n! 个, 因此形如（1）式的项共有n!项。所有 这n!项的代数和 p1 p2 pn