第四节逆矩阵
第四节 逆矩阵
逆矩阵的定义 定义对于n阶方阵A,如果有一个n阶方阵B,使 得 AB=BA=E。 则称矩阵A是可逆的,并把方阵B称为A的 逆阵( inverse matrix)
一、逆矩阵的定义 定义 对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B, 使 得 AB=BA=E。 则称矩阵A是可逆的，并把方阵B称为A的 逆阵(inverse matrix)
逆矩阵的初等性质: 1)如果A是可逆的,则A的逆阵是唯一的。 这是因为:设B、C都是A的逆阵,则有 B=BE=B(AC(BA)C=EC=C 所以A的逆阵是唯一的。以后,我们就记 此唯一的逆阵为A-1。 2)当A可逆时, AA-1=A-1AEE
逆矩阵的初等性质: 1.) 如果A是可逆的，则A的逆阵是唯一的。 这是因为：设B、C都是A的逆阵，则有 B=BE=B(AC)= (BA)C=EC=C， 所以A的逆阵是唯一的。以后，我们就记 此唯一的逆阵为A−1 。 2.) 当A可逆时, AA−1=A−1A=E
、矩阵A可逆的充要条件 定理1若方阵A可逆,则A|≠0。 证明A可逆,即有A的逆矩阵A1,使得AA1= E。故AA-1=AA-1==1,所以|A|≠0。 定理2若|A|≠0,则方阵A可逆,且 A 其中A为方阵A的伴随阵:
二、矩阵A可逆的充要条件 定理1 若方阵A可逆，则|A| 0 。 证明 A可逆，即有A的逆矩阵A−1 ，使得AA−1 = E。故|A|A−1 |=|A||A−1 | = |E| = 1，所以|A| 0。 定理2 若|A| 0，则方阵A可逆，且 其中A*为方阵A的伴随阵: 1 1 A , | | A A − =
21 *A 21 22 2n
11 21 1 21 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A =