定义1:含有未知函数的导数的方程 称为微分方程 未知函数是一元函数含有未知函数的导数 的微分方程称为常微分方程 例如 d2 ue de g de +Sb=0 m at 未知函数是多元函数含有未知函数的 偏导数的微分方程称为偏微分方程 2021/2/20
2021/2/20 6 定义1: 含有未知函数的导数的方程 称为微分方程. 未知函数是一元函数,含有未知函数的导数 的微分方程称为常微分方程. 未知函数是多元函数,含有未知函数的 偏导数的微分方程称为偏微分方程. 0 2 2 + + = l g dt d dt m 例如 d
定义2:(微分方程的阶) 未知函数的导数的最高阶数称为 微分方程的阶 例如 d26dO+旦=0二阶 n at n阶微分方程的一般形式 F(x, y, d小y 4少) 0(1) d 2021/2/20
2021/2/20 7 n阶微分方程的一般形式 ( , , , , ) = 0 (1) n n dx d y dx dy F x y 例如 0 2 2 + + = l g dt d dt m d 二阶 未知函数的导数的最高阶数称为 微分方程的阶. 定义2: ( 微分方程的阶 )
定义3:(线性与非线性) 未知函数及其各阶导数都是一次整式的微分 方程称为线性微分方程 n阶线性常微分方程的般形式 y ao(x)-n+a,(x) 十 dx dx +am(x)+a(x)y=f(x) 不是线性方程的称法性微分方程 例如 2√y是一阶非线性微分方程 2021/2/20
2021/2/20 8 n阶线性常微分方程的一般形式 + − + − 1 1 0 1 ( ) ( ) n n n n dx d y a x dx d y a x ( ) ( ) ( ) 1 a x y f x dx dy + an− x + n = 未知函数及其各阶导数都是一次整式的微分 方程称为线性微分方程. 定义3: ( 线性与非线性) 不是线性方程的称为 例 如 y是一阶非线性微分方程 dx dy = 2 非线性微分方程
定义4:(微分方程的解) 如果把函数y=y(x)代入方程1 使方程成为恒等式则称函数y=y(x) 是微分方程1)的一个解 微分方程的通解: n阶常微分方程1)的包含n个独立的 任意常数的解y=f(xC1;…Cn) 称为微分方程的通解. 2021/2/20
2021/2/20 9 任意常数的解 n阶常微分方程(1)的包含n个独立的 ( , , , ) C1 Cn y = f x (1) . , ( ) ( ) (1) 是微分方程 的一个解 使方程成为恒等式则称函数 如果把函数 代入方程 后 y y x y y x = = 定义4: ( 微分方程的解) 称为微分方程的通解. 微分方程的通解：
例如:一阶微分方程 +ku= a 函数() +e是一个解 k 对于任意常数C,单参数函数族 u(t) +ce-kt 是微分方程的通解 (∵+Mu=-Cke+A+Ckeh≡A) dt 2021/2/20
2021/2/20 10 ku A dt du 例 如: 一阶微分方程 + = 函 数 e k t是一个解 k A u t − ( ) = + 对于任意常数C,单参数函数族 k t e k A u t − ( ) = + C 是微分方程的通解 ( ku Cke A Cke A) dt du k t k t + = − + + − −