作业 P176习题63 16。19。20 P182习题6.4 3(2)(6).5.7(3)(7).9 P186习题65 4.5。25。 2021/2/20 预习:P198210
2021/2/20 1 作业 P176 习题6.3 16. 19. 20. P182 习题6.4 3(2)(6). 5. 7(3)(7). 9. P186 习题6.5 4. 5. 25. 预习: P198—210
第十八讲定积分(三) 定积分的换元积分法 (例题) 定积分的分部积分法 5、综合例题 2021/2/20 2
2021/2/20 2 第十八讲 定积分（三） 一、定积分的换元积分法 （例题） 二、定积分的分部积分法 三、综合例题
定积分的换元积分法 定理1:(定积分的换元积分法) 设函数f(x)∈C{a,b,作变换x=g(t) 满足三个条件: (1)q()∈CIa,B; (2)asq(1)≤b; (3)φ(a)=a,q(B)=b, 则有∫。f(x)dk=Jm10)g(old 2021/2/20
2021/2/20 3 = = = = f x dx f t t dt a b a t b t C f x C a b x t b a ( ) [ ( )] ( ) (3) ( ) , ( ) , (2) ( ) ; (1) ( ) [ , ]; ( ) [ , ], ( ), 1 则 有 满足三个条件： 设函数 作变换 一、定积分的换元积分法 定理1: (定积分的换元积分法)
「例若f(x)在对称区间-a,al连续则 (1)当f(x)为偶函数时有 ∫。f(x)t=2J(x) (2)当f(x)为奇函数时有 f(xdx=o 证(1)∫。f(x)k=f(x)d+f(x)h 对于右端第一项作变换:x=-t 又由f(x)为偶函数知 2021/2/20 f(x)=∫(-t)=∫(t)
2021/2/20 4 当 为偶函数时 有 例 若 在对称区间 上连续 则 (1) ( ) , [ 1] ( ) [ , ] , f x f x −a a = −a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) ( ) = 0 −aa f x dx (2)当f (x)为奇函数时,有 = + − − a a aa f x dx f x dx f x dx 0 0 ( ) ( ) ( ) 又 由 为偶函数知 对于右端第一项作变换 ( ) , : f x x = − t [ 证](1) f ( x ) = f ( − t ) = f ( t )
从而由换元公式,得 0 f()de f(tdt=Lf(tdt 为什麼? ∫;f(x)dk 定积分与积分变量 所用字母无关! 0 →」f(x)=」f(x)+」f(x)dt 0 =mf(x)d+/(x)dk=2”/(x) 例如]: Z2 x arcsinx d =0 2 2021/2/20
2021/2/20 5 = − = − 0 0 0 ( ) ( ) ( ) a a a f x dx f t dt f t dt 为什麽? = a f x dx 0 ( ) 定积分与积分变量 所用字母无关！ = + − − a a a a f x dx f x dx f x dx 0 0 ( ) ( ) ( ) = + = a a a f x dx f x dx f x dx 0 0 0 ( ) ( ) 2 ( ) = 0 − − 2 1 2 1 2 2 1 arcsin dx x x x ［例如］: 从而由换元公式，得