作业 P112习题43 4(2)(4).5(4).7.8(3).9(2)10 复习:P96111 预习:P113-121 2021/2/20
2021/2/20 1 复习：P96—111 预习：P113—121 P112 习题4.3 4(2)(4). 5(4). 7. 8(3). 9(2).10. 作 业
第十讲极值与凸性 极值与最值 二、函数的凸性 三、曲线的渐近线 四、函数作图 2021/2/20 2
2021/2/20 2 第十讲 极值与凸性 一、极值与最值 二、函数的凸性 三、曲线的渐近线 四、函数作图
、极值与最值 (-)极值的第一充分条件 定理1:设函数f在点x0的某邻域内有一阶 导数,且f在x两侧异号则∫在x取得极值 (1)若彐δ>0,使在(x0-8,x0)内f(x)≤0, 而在(x02x0+δf(x)≥0,则∫在x取得 极小值; (2)若>0,使在(x0-8,x0)内f(x)≥0, 而在(x0,x0+6肭f(x)≤0,则∫在x取得 极大值;
2021/2/20 3 , , . 0 0 0 导 数 且 在 两侧异号则 在 取得极值 设函数 在 点 的某邻域内有一阶 f x f x f x （一）极值的第一充分条件 定理1： ; ( , ) ( ) 0, (1) 0, ( , ) ( ) 0, 0 0 0 0 0 极小值 而 在 内 则 在 取 得 若 使 在 内 x x f x f x x x f x + − ; ( , ) ( ) 0, (2) 0, ( , ) ( ) 0, 0 0 0 0 0 极大值 而 在 内 则 在 取 得 若 使 在 内 x x f x f x x x f x + − 一、极值与最值
[证E](1) 若彐δ>0,使在(x0-8,x0内f(x)≤0 →在(x0-8,x0)内,f(x)↓ 今Vx∈(x0-0,x0),f(x)≥f(x0) 又彐δ>0,使在(x0,x0+δ)内f(x)≥0 →在(x0,x+δ)内,f(x)个 →Vx∈(x0,x0+O),f(x)≥f(x0) 2即,∫在x取得极小值
2021/2/20 4 [证] (1) 若 0,使 在(x0 − , x0 )内f (x) 0 在(x0 − , x0 )内, f (x) ( , ), ( ) ( ) 0 0 x0 x x − x f x f 又 0,使 在(x0 , x0 + )内f (x) 0 在(x0 , x0 + )内, f (x) ( , ), ( ) ( ) 0 0 x0 x x x + f x f , . 即 f 在x0 取得极小值
(二)极值的第二充分条件 定理2:设函数∫在点x0的某邻域内有一阶 导数,且f(x0)=0,又f"(x0)存在 (1)若f"(x)>0,则∫在x取得极小值; (2)若f"(x0)<0,则f在x取得极大值 [证](1)f(x0)=0,f"(x)>0 根据二阶导数定义有 ∫"(x0)=lin f(x)-f(x0) 0/lim >0 x→0 x→>x0X-y 2021/2/20 0
2021/2/20 5 (1) ( ) 0, ; 若f x0 则 f 在x0 取得极小值 （二）极值的第二充分条件 定理2： , ( ) 0, ( ) . 0 0 0 导 数 且 又 存 在 设函数 在 点 的某邻域内有一阶 f x f x f x = (2) ( ) 0, . 若f x0 则 f 在x0 取得极大值 [证] (1) f (x0 ) = 0, f (x0 ) 0 根据二阶导数定义,有 0 ( ) lim 0 0 − → x x f x x x = − − = → 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x