沈阳师范大学：《线性代数》课程授课教案（讲义）第2章 矩阵

线性代数教案第2章矩阵[1[0T0 ]0 272 022020解法1A?=-111[102T10 17[103]。23A"=A’A=223001l1170k2k0可以验证：A*：1J[101]00100020=B+C解法2A=20=+000￥1IBC=CB=(B+C)*=B*+kB*-IC+...+CC?=0= Ak=(B+C)*=B* +kBk-C[1[1[0012k2 k-1 000+kI0011 o [1k[001]0门002k02h0+k-[0 0 0]1]14.矩阵的转置：[auaa[a2ama21a2...a2nai2a22... am2, AT=A=:::…Lamam2...amm]Launa2n.am]算律：(I)（AT)T=A(2) (A4mxn +Bmxn)T = AT +BT(3) (kA)T = kAT(4) (Amx Bsm)T = BTAT验证(4)A=(ag)mxs，B=(b,)sxnAB=C=(cy)mn, BTAT=D=(d,)m-6-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 2 章 矩阵 - 6 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） 解法 1                     1 2 0 1 0 2 1 2 0 1 0 1 1 2 0 1 0 1 2 2 A                      1 2 0 1 0 3 1 2 0 1 0 1 1 2 0 1 0 2 3 2 2 3 A A A 可以验证：        1 2 0 1 0 k k k A 解法 2 A  B  C                      0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 1 2 0 1 0 1 BC  CB k k k k B  C  B  kB C   C ( ) 1  C 2  O A B C B kB C k k k k 1 ( )                           0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 1 2 1 k k 1 k                      1 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 k k k k 4. 矩阵的转置：        m m mn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 ,        n n mn m m a a a a a a a a a A       1 2 12 22 2 11 21 1 T 算律：(1) A  A T T ( ) (2) T T T (Amn  Bmn )  A  B (3) T T (k A)  k A (4) T T T (AmsBsn )  B A 验证(4) ij m s A a   ( ) , ij s n B b   ( ) ij m n AB C c    ( )  , ij n m B A D d    ( ) T T 

线性代数教案第2章矩阵[bui[左], = Ci：..+ai.b,=anb+.ais[Lbs[a,[右] =d,=[b.b,]=buan+..+baax=ci[ajs]故d,=C(i=1,2,,n;j=1,2,,m),即(AB)T=BTAT.对称矩阵：指Amxn满足AT=A，即a,=a,(i,j=1,2,,n)反对称矩阵：指An满足AT=-A，即a,=-aj（i,j=1,2,,n)5.方阵的行列式：指A=（a,）nxn的元素按照原来的相对位置构成的行列式，记作detA，或者A算律：(I)detAT=detA(2) det(IA) = I" detA(3) det(AB)= (detA)(detB)(4) det4* = (detA) *[注]］方阵是数表，而行列式是数值AnxBmxn ±BA, 而det(AB)= det(BA) 巩固练习：作业：P56:12（2)（6)3468课后小结：-7-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 2 章 矩阵 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 7 - 左ij    j i js si si i ji j js a b a b b b c a a             1 1  1 1 右ij    i j si js ji js j ij i si b a b a c a a d b b              1 1  1 1 故 d c (i 1,2, , n; j 1,2, ,m) ij  ji     ，即 T T T (AB)  B A ． 对称矩阵：指 Ann 满足 A  A T ，即 a a (i, j 1,2, , n) ij  ji   反对称矩阵：指 Ann 满足 A  A T ，即 a a (i, j 1,2, , n) ij   ji   5. 方阵的行列式：指 ij n n A a   ( ) 的元素按照原来的相对位置构成的 行列式, 记作 detA, 或者 A ． 算律：(1) detA detA T  (2) l A l A n det( )  det (3) det(AB)  (detA)(detB) (4) k k detA  (detA) [注] 方阵是数表, 而行列式是数值． AnnBnn  BA, 而det(AB)  det(BA) . 巩固练习： 作业： P56：1 2（2）（6）3 4 6 8 课后小结：

线性代数教案第2章矩阵授课题目$2.3逆矩阵1.熟练掌握逆矩阵的定义及其运算2.熟练掌握矩阵伴随矩阵的定义教学目的3.掌握逆矩阵的求法及证明教学重点逆矩阵的求法教学难点逆矩阵的求法及证明教学时数教学方法探究-讨论教学手段板书与多媒体相结合2学时教学过程备注复习引入：矩阵的运算法则一、方阵的行列式1.方阵的行列式aua12..ana22.a2na21所确定的行列式定义1由n阶方阵A=:(anlan2..am)12..na21a22..a2nanan2..am称为n阶方阵的行列式，记为A或detA.方阵A的行列式A满足下列的运算规律：（A、B均为n阶方阵）(1) [4|=|4](2) [A|= 2"[A](3) [AB|=[4|B2.伴随矩阵定义2方阵A的行列式A的各元素的代数余子式A,所构成的方阵(AA.. An)A2 A .. Am(AmAn... Am)称为方阵A的伴随矩阵，简记A，即-8-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 2 章 矩阵 - 8 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） 授课题目 §2.3 逆矩阵 教学目的 1.熟练掌握逆矩阵的定义及其运算 2.熟练掌握矩阵伴随矩阵的定义 3.掌握逆矩阵的求法及证明 教学重点 逆矩阵的求法 教学难点 逆矩阵的求法及证明 教学方法 探究-讨论 教学手段 板书与多媒体相结合 教学时数 2 学时 教 学 过 程 备注 复习引入：矩阵的运算法则 一、方阵的行列式 1．方阵的行列式 定义 1 由 n 阶方阵 A        n n nn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 所确定的行列式 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a       称为 n阶方阵的行列式，记为 A 或det A. 方阵 A 的行列式 A 满足下列的运算规律：（ A 、 B 均为 n 阶方阵） （1） T A  A （2） n A   A （3） AB  A B 2．伴随矩阵 定义 2 方阵 A 的行列式 A 的各元素的代数余子式 Aij 所构成的方阵 11 21 1 12 22 2 1 2 n n n n nn             A A A A A A A A A 称为方阵 A 的伴随矩阵，简记  A ，即

线性代数教案第2章矩阵ArA... AmA12 A2 .. AmA*=:(An An .. Am)注求矩阵A的伴随矩阵A时，要注意A的第i行元素是A中的第i列元素的代数余子式，由行列式按一行（列）展开的公式，即得(IA|000IAI ...0AA'=AA==|A|E：::00...|A（可以举例2阶、3阶求伴随矩阵）二、逆矩阵1.逆矩阵的概念定义3设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=E（这里E是n阶单位阵），则称A为可逆矩阵或非奇异矩阵，并称B为A的逆矩阵，记作B=A-.如果不存在满足上式的矩阵B，则称A为不可逆矩阵或奇异矩阵2.矩阵可逆的条件定理1对任意方阵A，若逆矩阵存在的话，必定唯一，证明假设矩阵B和C都是的A逆矩阵，使AB=BA=E，AC=CA=E则B = BE = B(AC)=(BA)C =EC =C所以A的逆矩阵是唯一的.)A=E由前面AA=AA=A|E，如果|A|+0,则AA1A定理2方阵A可逆的充分必要条件是|A0，且A"=[A|AA=E知，A可逆，且假设|A+0，则由A证明AIAI-9.计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 2 章 矩阵 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 9 - 11 21 1 12 22 2 1 2 n n n n nn               A A A A A A A A A A 注 求矩阵 A 的伴随矩阵  A 时，要注意  A 的第i 行元素是 A 中的第i 列元素 的代数余子式. 由行列式按一行（列）展开的公式，即得 * * | | 0 0 0 | | 0 | | 0 0 | |                A A AA A A A E A （可以举例 2 阶、3 阶求伴随矩阵） 二、逆矩阵 1．逆矩阵的概念 定义 3 设 A 是 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵 B ，使得 AB  BA  E （这里 E 是 n 阶单位阵），则称 A 为可逆矩阵或非奇异矩阵，并称 B 为 A 的逆矩阵， 记作 1 B  A . 如果不存在满足上式的矩阵 B ，则称 A 为不可逆矩阵或奇异矩阵. 2．矩阵可逆的条件 定理 1 对任意方阵 A ，若逆矩阵存在的话，必定唯一. 证明 假设矩阵 B 和C 都是的 A 逆矩阵，使 AB  BA  E ， AC  CA  E 则 B  BE  B(AC)  (BA)C  EC  C 所以 A 的逆矩阵是唯一的. 由前面 * * AA  A A | A | E ，如果 1 * 1 * | | 0, | | | |                A 则A A A A E A A 。 定理 2 方阵 A 可逆的充分必要条件是| A| 0 ，且 1 1 * | |  A  A A . 证明 假设 | A| 0 ，则由 1 * 1 * | | | |               A A A A E A A 知， A 可逆，且

线性代数教案第2章矩阵A反过来，如果A可逆，那么必存在A-"，使AA-"=E两边取行列式，得AA-=E=1，因而|A+0证毕由定理可知，对于n阶方阵A、B，如果AB=E（或BA=E），那么A，B就都是可逆的，并且它们互为逆矩阵.对于方阵A，当|A+0时，又称A为非奇异的，当|A=0时，则称为奇异的推论如果矩阵A，B可逆，那么AT与AB也可逆，且(A)-" =(A-")T(AB)-" = B-"A-I证明由AA-"=A-"A=E两边取转置，有(A-")TAT = AT(A-")T =ET=E =(AT)-" =(A-')T又由(AB)(B-"A-") =(B-"A-")(AB)= E即得(AB)-" = B-"A-13.可逆矩阵的性质性质1若A是可逆矩阵，则A-也是可逆矩阵，且（A-"）-=A这是因为AA-"=A-"A=E，A和A-互为逆矩阵性质2若A是可逆矩阵，常数元±0，则入A也是可逆矩阵，且.A!.(AA)-=(A-)=(_A")(^A)=E .事实上，（aA)21性质3若A、B是同阶可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，且（AB)-"=B-"A-"因为(AB)(B-"A-")= A(BB-")A-"= AEA-=AA-" = E(B-"A-")(AB)=B-'(A-"A)B =B-'E =B-'B= E-10-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数教案 第 2 章 矩阵 - 10 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） 1 1 * | |  A  A A . 反过来，如果 A 可逆，那么必存在 1 A ，使 1 AA  E 两边取行列式，得 1 1  A A  E  ，因而| A| 0 证毕. 由定理可知，对于 n 阶方阵 A 、B ，如果 AB  E （或 BA  E ），那么 A ，B 就都是可逆的，并且它们互为逆矩阵. 对于方阵 A ，当| A| 0 时，又称 A 为非奇异的，当| A| 0 时，则称为奇异的. 推论 如果矩阵 A ， B 可逆，那么 T A 与 AB 也可逆，且 T 1 1 T ( ) ( )   A  A 1 1 1 ( )    AB  B A 证明 由 1 1 AA  A A  E 两边取转置，有 1 T T T 1 T T T 1 1 T ( ) ( ) ( ) ( )     A A  A A  E  E  A  A 又由 1 1 1 1 ( )( ) ( )( )     AB B A  B A AB  E 即得 1 1 1 ( )    AB  B A 3．可逆矩阵的性质 性质 1 若 A 是可逆矩阵，则 1 A 也是可逆矩阵，且 1 1 ( )   A  A. 这是因为 1 1 AA  A A  E ， A 和 1 A 互为逆矩阵. 性 质 2 若 A 是 可 逆 矩 阵 ， 常 数   0 ， 则 A 也 是 可 逆 矩 阵 ， 且 1 1 1 ( )    A  A . 事实上， 1 1 1 1 ( )( ) ( )( )     A A  A A  E . 性质 3 若 A 、B 是同阶可逆矩阵，则 AB 也是可逆矩阵，且 1 1 1 ( )    AB  B A . 因为 1 1 1 1 1 1 ( )( ) ( )       AB B A  A BB A  AEA  AA  E 1 1 1 1 1 1 ( )( ) ( )       B A AB  B A A B  B E  B B  E