复变函数二、幂级数的敛散性1.收敛定理（阿贝尔Abel定理）阿贝尔介绍8ZC,z"在z=Zo(±0)收敛,那末对如果级数n=0满足<Zol的 z，级数必绝对收敛，如果在z=zo级数发散，那末对满足>o的Z，级数必发散u
6 二、幂级数的敛散性 1.收敛定理 (阿贝尔Abel定理) 如果级数 n=0 n n c z ( 0) z = z0 0 z z 0 z = z 0 z z z, 在 收敛, z, 那末对 的 级数必绝对收敛, 如果在 级数发散, 那末对满足 的 级数必发散. 满足 阿贝尔介绍
复变函数8证因为级数Cnz"收敛,n=0由收敛的必要条件,有 lim cnz"= 0n→>因而存在正数M使对所有的n，有cnzo"<M,z如果<0l,那末=q<1,Zou
7 证 , 0 因为级数 0 收敛 n= n n c z 由收敛的必要条件, 有 lim 0 = 0 → n n n c z 因而存在正数M, , c z0 M n 使对所有的n, 有 n , 0 如果 z z 1, 0 = q z z 那末
复变函数1而< Mq"C,znZoZ0由正项级数的比较判别法知8ZCnz"= col+ Iciz+C2z2+.+Cnz" +..收敛.n=08故级数Cnz" 是绝对收敛的n=0另一部分的证明请课后完成[证毕]u
8 而 n n n n n n z z c z c z 0 0 = 由正项级数的比较判别法知: . 0 故级数 是绝对收敛的 n= n n c z = + + ++ + = n n n n n c z c c z c z c z 2 0 1 2 0 收敛. 另一部分的证明请课后完成. . n Mq [证毕]
复变函数2.收敛圆与收敛半径对于一个幂幕级数.其收敛半径的情况有三种：(1）对所有的正实数都收敛由阿贝尔定理知：级数在复平面内处处绝对收敛u
9 2. 收敛圆与收敛半径 对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种: (1) 对所有的正实数都收敛. 由阿贝尔定理知: 级数在复平面内处处绝对收敛
复变函数例如，级数1＋z++++.22h"7.从某个n开始，总有对任意固定的z,2n7于是有hh故该级数对任意的均收敛u
10 例如, 级数 + + ++ n + n n z z z 2 2 2 1 对任意固定的z, 从某个n开始, 总有 , 2 1 n z 于是有 , 2 1 n n n n z 故该级数对任意的z均收敛