这是一个具有2n个未知数，m+1个方程的方程组， 当m=2n-1时，方程组(6.5)是可解的。因此确实可以 找到一组x和4(k=1,2,…,n)使求积公式(6.2)的代数 精度从n-1次提高到2n-1次。 定义2若对于次数≤2n-1的多项式fx),关系式 p())k∑A4f) (6.6) 为恒等式，则称(6.6)为Gauss2型求积公式，相应节点 x,x,,xn称为Gauss型点。 显然，由方程组(6.5)就可以把Gauss型求积公式 的节点和系数求出来。但在一般情况下，要解这个方程 组是相当困难的，下面我们给出一种行之有效的方法
这是一个具有 2n 个未知数， m +1 个方程的方程组， m n = − 2 1k x 当 时，方程组（6.5）是可解的。因此确实可以 找到一组 和 使求积公式（6.2）的代数 精度从 次提高到 次。 ( 1,2, , ) A k n k = n −1 2 1 n − 定义2 若对于次数 − 2 1 n 的多项式 f x( ) ，关系式 ( ) ( ) ( ) 1 n b k k a k x f x dx A f x = （6.6） 为恒等式，则称（6.6）为Gauss型求积公式，相应节点 x x x 1 2 , , , n 称为Gauss型点。 显然，由方程组（6.5）就可以把Gauss型求积公式 的节点和系数求出来。但在一般情况下，要解这个方程 组是相当困难的，下面我们给出一种行之有效的方法
二、Gauss型求积公式的构造 先从一个简单例子入手 例4取p(x)=1,积分区间-1，为，求x,x和4,4使 f)≈A)+4/ (6.7) 对任何三次多项式f(x)=a,+ax+a,x2+a,x精确成立。 解：以(x-xx-x)除fx)得 f(x)=(B+Bx)(x-x)(x-x2)+(ao+ajx)=q(x)@2 (x)+r(x) 于是， ()本=g(@()+r()
二、 Gauss型求积公式的构造 先从一个简单例子入手 对任何三次多项式 f x a a x a x a x ( ) = + + + 0 1 2 3 2 3 精确成立。 解： 以 ( )( ) x x x x − − 1 2 除 f x( ) 得 f x x x x x x x q x x r x ( ) = + − − + + = + ( 0 1 1 2 0 1 1 2 1 )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 于是， ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 1 1 f x dx q x x dx r x dx − − − = + ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 f x dx A f x A f x − + （6.7） [ 1,1] − 1 2 例4 取 ( ) 1 x = ，积分区间 为，求 x x, 和 A A 1 2 , 使
由于 ()k=Ar(x)+4(s） 而 f(x)=q(x)D(x)+r(x)=r(x)k=1,2 从而有 ∫()本=Af()+4f(》 故要使 ∫，f()k=A/(s)+4f(x)
由于 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 1 r x dx A r x A r x − = + 而 f x q x x r x r x k ( k k k k k ) = + = = 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2 从而有 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 1 r x dx A f x A f x − = + 故要使 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 f x dx A f x A f x − = +
必须有 ()o,()在=0 (6.8〉 也就是说，当节点满足条件(6.8)时，能使(6.7)式精确成 立。 由于(x)是任意三次多项式，所以94是任意一次多 项式，据正交多项式的性质知，任意一个一次多项式都与二 次Legendrez多项式在[-l,]上带权正交，又因为o(x)是最高 次项系数为1的多项式，故(3.8)中的o,(x)应取为 a=c-x0-)产3-号ex-) x,x,就是二次Legendre多项式的根，即 X1=一X2=一
必须有 ( ) ( ) 1 1 2 1 q x x dx 0 − = （6.8） 也就是说，当节点满足条件（6.8）时，能使（6.7）式精 确成 立。 由于 是任意三次多项式 ， 所以 是任意一次多 项式，据正交多项式的性质知，任意一个一次多项式都与二 次Legendre多项式在 上带权正交，又因为 是最高 次项系数为1的多项式，故（3.8）中的 应取为 f x( ) 1 q [ 1,1] − 2 ( ) x 2 ( ) x ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 1 3 1 3 3 2 x x x x x P x x = − − = = − x x 1 2 , 就是二次Legendre多项式的根，即 1 2 1 3 x x = − = −
求出节点后，可利用求积公式(6.7)确定A,A,。为此， 取fx)=1,fx=x,则有 4+4==2 A杯+4x=」x边=0 解得 A=A,=1 故求积公式(3.7)变成 上恤人》
1 2 求出节点后，可利用求积公式（6.7）确定 A A, 。为此， 取 f x f x x ( ) 1, ( ) , = = 则有 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 0 A A dx A x A x xdx − − + = = + = = 解得 A A 1 2 = =1. 故求积公式（3.7）变成 ( ) 1 1 1 1 3 3 f x dx f f − − +