江画工太猩院 例2求x x T优 解令x=2 sint dx=2 costa t∈ ∫x34-xhkx=∫(2imty、4-4sm2t:2oMt 32 ]sin t os tdt=32 sint(1-cos t)cos tdt -32(cost-cost) d cost 320cost--coSt)+C 35 (4x)2+1(4-x)+C.4-x2
江西理工大学理学院 例2 求 解 4 . 3 2 x x dx ∫ − 令 x = 2sint dx = 2costdt ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ π π ∈ − 2, 2 t x x dx ∫ − 3 2 4 (2sint) 4 4sin t 2costdt 3 2 = − ⋅ ∫ t tdt 3 2 32 sin cos ∫ = t t tdt 2 2 32 sin (1 cos )cos ∫ = − 32 (cos t cos t)d cost 2 4 = − − ∫ = − t − cos t) + C 51 cos 31 32( 3 5 t2 x 2 ( ) ( 4 ) . 4 − x 51 4 34 5 2 3 2 = − − x + − x + C
江画工太猩院 例3求 t(a>0) 解令x=aet= a tdt te|0.z dx= sect. tant d t √x-a a tant ∫een+C x ix-a+C. t x-ll
江西理工大学理学院 例3 求 解 ( 0). 12 2 > − ∫ dx a x a 令x = asec t ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ ∈ 2 0,π dx = asecttantdt t = − ∫ dx x a 2 2 1 dt a t a t t ∫ ⋅ tan sec tan ∫ = sectdt = ln(sec t + tant) + C t a x 2 2 x − a ln . 2 2 C a x a a x +⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − = +
江画工太猩院 说明()以上几例所使用的均为三角代换 三角代换的目的是化掉根式 一般规律如下:当被积函数中含有 ()a2-x2可令x=asm6; (2)a2+x2可令x=n; (3)x2-a2可令x=aet
江西理工大学理学院 说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 2 2 (1) a − x 可令x = asint; 2 2 (2) a + x 可令x = a tant; 2 2 (3) x − a 可令x = asec t
江画工太猩院 说明(2)积分中为了化掉根式是否一定采用 三角代换并不是绝对的,需根据被积函数的 情况来定 例4求 x(三角代换很繁琐) 1+x 解令t=Ⅵ1+x2→x2=12-1,x=tt, √1+x d=」(-12+1 53"+t+C=,(8-4x2+3x)1+x2+C 15
江西理工大学理学院 积分中为了化掉根式是否一定采用 三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的 情况来定 . 说明(2) 例4 求 dx x x ∫ + 2 5 1 （三角代换很繁琐） 2 令 t = 1 + x 1 , 2 2 ⇒ x = t − xdx = tdt , dx x x ∫ + 2 5 1 ( ) tdt t t ∫ − = 2 2 1 ( t t )dt ∫ = − 2 + 1 4 2 = t − t + t + C 5 3 3 2 5 1 ( 8 4 3 ) 1 . 15 1 2 4 2 = − x + x + x + C 解
江画工太猩院 例5求 1+e 解令t=1+e→e=t-1, 2t x=l 1+e t-1t+1 In+C=2ln(1+e-1)-x+C. t+1
江西理工大学理学院 例5 求 解 . 1 1 dx e ∫ x + x 令 t = 1+ e 1, 2 ⇒ e = t − x , 1 2 2 dt t t dx − = dx e ∫ x 1+1 dt t ∫ − = 1 22 dt t t ∫ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ + − − = 1 1 1 1 C t t + + − = 1 1 ln 2ln( 1 e 1) x C. x = + − − + ln( 1), 2 x = t −