第三章多维随机变量及其布 n(元)维随机变量(向量) 称同一个样本空间Ω上的n个随机变量 X1,X2,…,Xn构成的n维向量(X1,x2,,xn) 为Ω上的n维随机变量(向量) 注:一维随机变量即为上一节介绍的随机变量, 二维及二维以上的随机变量称为多维随机变量
第三章 多维随机变量及其分布 n （元）维随机变量（向量） 称同一个样本空间上的 n 个随机变量 X1，X2，…，Xn 构成的n维向量(X1,X2,…,Xn) 为 上的n维随机变量 (向量)。 注：一维随机变量即为上一节介绍的随机变量， 二维及二维以上的随机变量称为多维随机变量
第3.1节二维随机变量 分布函数 n元实函数 F(xnx2…,x)=P(K≤x1≤x2…,≤x}(x1,x2,…,xn)∈Rn 称为n维随机变量(X,X2,,X)的分布函数。 注意:K1≤xB≤x2…,石≤xn均表示事件, X1≤x1X2≤x2…,X1≤x表示这几个事件同时发生 特别:二维随机向量(X,Y)的分布函数为 F(x,y)P{X≤x,Y≤y}(x,y)∈R2 或称为X与Y的联合分布函数
分布函数 n元实函数 F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}(x1,x2,…,xn)∈Rn 称为n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数。 特别: 二维随机向量(X,Y)的分布函数为 F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}(x,y)∈R2 注意: X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn 均表示事件, {X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}表示这几个事件同时发生. 或称为X与Y的联合分布函数 第3.1节 二维随机变量
二维联合分布函数区域演示图: y (x,y) Xx,X≤y
X Y x y { , } X≤x Y≤y 二维联合分布函数区域演示图: (x,y)
二维离散型随机变量 1.二维离散型随机变量的概念 如果二维随机变量(X,Y)的全部取值(数对)为有限个或无限 可列个,则称随机变量(X,Y)为离散型的。 易见,二维随机变量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量X与 Y分别都是一维离散型的。 2概率分布及其性质 称p=P{X=x,Y=y,(i,j=1,2,,)为(x,Y)的概率分布(分布律), 其中{(x1,y),i,j=1,2,为(x,Y)的取值集合,表格形式如下: Y yI y y 概率分布性质: p1lP2…p1j 1)p;≥0;i,j1,2, 2 P2p22…P2…(2)∑∑pi;=1; (3)P{(X,Y)∈D} ∑P Pi2 p ij (x2,y)∈D ●● ∑ (4)F(x,y)=∠P xisx,i sy
一、二维离散型随机变量 ⒈二维离散型随机变量的概念 如果二维随机变量（X,Y）的全部取值(数对）为有限个或无限 可列个，则称随机变量（X,Y）为离散型的。 易见，二维随机变量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量 X与 Y 分别都是一维离散型的。 ⒉概率分布及其性质 称pij=P{X=xi,Y=yj},(i,j=1,2,...,)为(X,Y)的概率分布(分布律）, 其中{(xi,yj),i,j=1,2,...}为(X,Y)的取值集合,表格形式如下: X x1 x2 … x i … y1 y2 … y j … p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … … … … pi1 pi2 … p i j … … … … … … Y (2)∑∑pij = 1; (3)P{(X,Y)∈D } = x x y y ij i j p , 概率分布性质: (1) pij≥0 ;i,j=1,2,… (4)F(x,y)= x y D ij i j p ( , )
例311将一枚均匀的硬币抛掷4次X表示正面向上的次数,Y表 示反面朝上次数求(X,Y)的概率分布 解X的所有可能取值为0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为0,1,2,3,4, 因为X+Y=4,所以X,Y)概率非零的数值对为 XYP{X=0,Y=4}=0.5=1/16 04 PX=1,Y=3}=C4×0.5×0.5°=1/4 3 PX=2,Y=2}=C4×0.5×0.52=6/16 22 31PX=3,Y=l}3×0.53×0.5=1/x0 234 40P{X=4,Y=0}=0.54=1/16 00001/16 000140 联合概率分布表为: 006/1600 3 01/4000 41/160000
例3.1.1.将一枚均匀的硬币抛掷4次,X表示正面向上的次数,Y表 示反面朝上次数,求(X,Y)的概率分布. 解:X的所有可能取值为0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为0,1,2,3,4, 因为X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的数值对为: X Y 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 P{X=0,Y=4}= 1 3 C4 0.50.5 P{X=2,Y=2}= 2 2 2 C4 0.5 0.5 =1/4 =6/16 P{X=3,Y=1}= 3 3 1 C4 0.5 0.5 =1/4 P{X=4,Y=0}= 0.54=1/16 X 0 1 2 3 4 Y 0 1 2 3 4 联合概率分布表为: 0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 0 1/16 0 0 0 0 P{X=1,Y=3}= 0.54=1/16