§3.4矩阵的秩 一、矩阵的行秩、列秩、秩 二、矩阵的秩的有关结论 三、矩阵秩的计算
一、矩阵的行秩、列秩、秩 二、矩阵的秩的有关结论 三、矩阵秩的计算
、列秩、秩矩阵的行秩、auia12aina21 a22a2n定义设A=-as1 as2 ... asn则矩阵A的行向量组（ai,i2,ain)，i=1,2,,的秩称为矩阵A的行秩：ajani, j=1,2,..,n矩阵A的列向量组.asj的秩称为矩阵A 的列秩83.4矩阵的秩区区
§3.4 矩阵的秩 一、矩阵的行秩、列秩、秩 定义 的秩称为矩阵A 的行秩； 则矩阵 A 的行向量组 1 2 ( , , , ), 1,2, , i i in a a a i s = 的秩称为矩阵A 的列秩. 矩阵 A 的列向量组 1 2 , 1,2, , j j sj a a j n a = 11 12 1 21 22 2 1 2 , n n s s sn a a a a a a A a a a = 设
引理如果齐次线性方程组aiix +ai2x2+... +ainxn= 0(1)a21X + a22X2 +... +a2nxn= 0:=0asixi +asx2+..+asnx,=0a A12 .1na2na21 a22 .的系数矩阵EA=asi as2..asn的行秩r<n，那么它有非零解，（若(1)只有零解，则r≥n．）83.4矩阵的秩A
§3.4 矩阵的秩 引理 如果齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 0 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = = + + + = （ 1 ） 的系数矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n s s sn a a a a a a A a a a = 的行秩 r n ，那么它有非零解． （若(1)只有零解，则 r n . ）
证：设矩阵A的行向量组α, =(ai,ai2,..,ain), i=1,2,..,s的秩为r，且不妨设α,α,α,为其一个极大无关组由于向量组kz,kz,,α,与向量组α,αz,…,α,等价，于是方程组(1)与方程组(1')是同解的a +a2x,+...+anx, = 0a2ix, +a22x, +...+ a2nx, = 0(1)=0arixi+ar2x2+...+amxn=0在(1)中r<n，所以(1)有非零解，从而(1)有非零解83.4矩阵的秩
§3.4 矩阵的秩 证： 的秩为r， 设矩阵 A 的行向量组 1 2 ( , , , ), 1,2, , i i i in = = a a a i s 且不妨设 1 2 为其一个极大无关组. , , , r 于是方程组(1)与方程组(1')是同解的. 由于向量组 k k 2 2 , , , s 与向量组 1 2 , , , r 等价， 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 0 n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = = + + + = （1'） 在(1')中 所以(1')有非零解，从而(1)有非零解. r n
定理4矩阵的行秩三矩阵的列秩证明：设A=(a,）sn，A的行秩=r，A的列秩=ri,下证r=r．先证r≥r.设A的行向量组为α,=(ai,aiz2…,ain)，i=1,2,.,s则向量组ααz,,α,的秩为r不妨设α,α,…,α,是它的一个极大无关组，于是ααα线性无关，83.4矩阵的秩V
§3.4 矩阵的秩 定理4 矩阵的行秩＝矩阵的列秩． 证明：设 ，A的行秩＝r，A的列秩＝r A a = ( )ij s n 1， 下证 r r = 1． 先证 r r 1 ． 则向量组 1 2 , , , ,s 的秩为r， 不妨设 1 2 , , , r 是它的一个极大无关组， 于是 1 2 , , , r 线性无关， 设A的行向量组为 1 2 ( , , , ), 1,2, , i i i in = = a a a i s