三重积分 定义:∫∫(x,y,)=lim∑f(5,mn,51)AP Q 三重积分的计算: 1.直角坐标系中将三重积分化为三次积分 b (x f(x,x)b2=1(小y z 2X 2 y1( GI(x,y) f(x,y, z)dz. 需把一般区域先投影到xoy面得D,再作平行于z轴的 直线求得1,z,得到简单区域?
二. 三重积分 定义: ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 → = = n i i i i i f x y z dv f v 三重积分的计算: 1. 直角坐标系中将三重积分化为三次积分 f (x, y,z)dv ( , , ) . ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 1 2 1 = b a y x y x z x y z x y dx dy f x y z dz 需把一般区域先投影到xoy面得D, 再作平行于z轴的 直线求得 , , . z1 z2 得到简单区域
若将Ω投影到zox面或y0面上,则有 ∫ , f(x,y,z)dhv=」natx 7<厂n2(x,x) y1(x, z) f(x,y,z)小 (x,30=d门 x2(y, 4) f(x, y, z) dc. 投影要求: 投到xoy面,平行于轴的直线与g边界不多于两个交点 投到y0z面,平行于x轴的直线与g边界不多于两个交点 投到z0x面,平行于y轴的直线与9边界不多于两个交点
若将投影到zox面或yoz面上,则有 ( , , ) ( , , ) . ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 1 2 1 = b a z x z x y x z y x z f x y z dv dx dz f x y z dy ( , , ) ( , , ) . ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 1 2 1 = d c z y z y x y z x y z f x y z dv dy dz f x y z dx 投影要求: 投到xoy面, 平行于z轴的直线与边界不多于两个交点. 投到yoz面, 平行于x轴的直线与边界不多于两个交点. 投到zox面, 平行于y轴的直线与边界不多于两个交点
2.“先二后一”法 (1)把积分区域Ω向某 轴(例如轴)投影, 得投影区间[c1,c2l; (2)对z∈c1,C2用过轴且 平行xOy平面的平面去 截Ω,得截面D2; (3)(x,y,z)=(x,y,)d 用于f(x,yz)=g(z)或f(x,y,z)=g(x,y) K心
2. “先二后一”法 z (1)把积分区域 向某 轴（例如 z 轴）投影, 得投影区间[ , ] 1 2 c c ； (2)对 [ , ] 1 2 z c c 用过z 轴且 平行xoy平面的平面去 截 ，得截面Dz ; = Dz c c (3) f (x, y,z)dxdydz dz f (x, y,z)dxdy 2 1 用于f (x, y,z) = g(z)或f (x, y,z) = g(x, y)
3柱面坐标系中将三重积分化为三次积分 Jf(x,y, z)dxdydz=f(rcos e, rsin 8, z)rdrdedz 4球面坐标系中将三重积分化为三次积分 f(x,v, z)dxdydz ∫∫( psin cos 6, psin p sin,pcsg)p2 sin dpdo K心
3. 柱面坐标系中将三重积分化为三次积分 f (x, y,z)dxdydz = f (r cos ,rsin ,z)rdrddz 4. 球面坐标系中将三重积分化为三次积分 f (x, y,z)dxdydz = ( sin cos , sin sin , cos ) sin . 2 f ddd
5利用区域的对称性和函数的奇偶性计算三重积分 (1)92关于xoy面对称,则 2f(x,],a)dv f(x,y-x=f(x,y,z) f(x,y,z)h={9上 f(,v,- )=-f(x,y, z) (2)2关于y0z面对称则 j2(,3)(x,2=3 f(x,y,x)h={9前 0 f(-x,y,孔)=-f(x,y,z) K心
5.利用区域的对称性和函数的奇偶性计算三重积分 (1)关于xoy面对称,则 − = − − = = 0 ( , , ) ( , , ) 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) f x y z f x y z f x y z dv f x y z f x y z f x y z dv 上 (2)关于yoz面对称,则 − = − − = = 0 ( , , ) ( , , ) 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) f x y z f x y z f x y z dv f x y z f x y z f x y z dv 前