中南大学：《大学数学》课程PPT教学课件（微积分案例题解）chapter4（6）Gauss公式与通量

Chapter 4(6 Gaus公式与通量

Chapter 4(6) Gauss公式与通量

教学要求: 1.了解Gaus式; 2.会用 Gauss公式计算曲面积分 3.了解通量与散度的概念并会计算 K<DD

教学要求： 1. 了解Gauss公式; 2. 会用Gauss公式计算曲面积分； 3. 了解通量与散度的概念并会计算

一.GauS公式 沿闭曲面的曲面积分为零的条件 通量与散度 四.综合题解 K心

一 .Gauss公式 二.沿闭曲面的曲面积分为零的条件 三.通量与散度 四.综合题解

Gaus公式 高斯公式或奥氏公式或奥高公式 定理1 (1)设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ所围成; (2)P(x,y,z),Q(x,y,z,R(x,y,z)在Ω2上有一阶连续偏导; 则∫ OP 00 OR Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=J(+ +ody ∑ Q x ay a 或∫( Pcos a+ 2cos B+ Rcos y)dS=∫ OP 00 OR +=2+-)dh ∑ 其中∑是9的整个边界曲面的外侧,cosa,cosB,c0s是 ∑上点(x,y,z)处的外法向量的方向余弦 K心

一 .Gauss公式 ——高斯公式或奥氏公式或奥高公式 定理1. (1)设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成; (2)P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z)在上有一阶连续偏导;       +   +   + + = dv z R y Q x P 则 Pdydz Qdzdx Rdxdy ( )       +   +   + + = dv z R y Q x P 或 (Pcos Qcos  Rcos )dS ( ) ( , , ) . , cos , cos , cos 上点 处的外法向量的方向余弦 其中 是 的整个边界曲面的外侧 是  x y z     

Proof (1)设平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点不多于两 个,如图 设闭区域在xOy面上的投 影区域为D xy Σ由∑,∑2和Σ3三部分组成, ∑1:z=x1(x,y,取下侧 ∑2:z=z2(x,y),取上侧 J ∑3,取外侧 且Ω={(x,y,列)a1(x,y)≤z≤2(x,y)2(x,y)∈Dxy} K心

Proof. (1)设平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点不多于两 个，如图 x y z o  设闭区域 在xoy 面上的投 影区域为Dxy. Dxy 由1 ,2和3 三部分组成, 1 : ( , ), ; 1 z = z1 x y 取下侧 2 : ( , ), ; 2 z = z2 x y 取上侧 3 , . 3 取外侧 {( , , )| ( , ) ( , ),( , ) } 1 2 Dxy 且 = x y z z x y  z  z x y x y 