中南大学：《大学数学》课程PPT教学课件（微积分案例题解）chapter4（7）Stokes公式及环量与旋度

Chapter 4(7 Stokes公式及环量与旋度

Chapter 4(7) Stokes公式及环量与旋度

教学要求: 1.了解 Stokes公式; 2.了解旋度的概念,并会计算; 3.了解环流量的概念,并会计算; 4.了解空间曲线积分与路径无关的几个等价关系 K<DD

教学要求： 1. 了解Stokes公式; 2. 了解旋度的概念，并会计算; 3. 了解环流量的概念，并会计算; 4. 了解空间曲线积分与路径无关的几个等价关系

一. Stokes公式 二空间曲线积分与路径无关的条件 三.环流量与旋度 K心

一 . Stokes公式 二.空间曲线积分与路径无关的条件 三.环流量与旋度

. Stokes公式 曲面的侧与边界曲线的方向作如下规定(右手法则) 当右手四指依r的绕行方向时,大拇指所指的方向与 ∑上法向量的指向相同,这时称r是有向曲面∑的正向 边界曲线 n 定理)设光滑曲耐》昀热是按段光滑的连续曲线 (2)P(x,y,z),g(x,y,.2R(y,z)在X(连同r)上连续, 且有一阶连续偏导 OR 80 OP aR ao aP 小yz+ dzdx ∑ ay az az ax ax a fPax +Ody+Rdz 其中∑的侧与r的方向按右手法则确定 K心

一 . Stokes公式 曲面的侧与边界曲线的方向作如下规定(右手法则): 当右手四指依的绕行方向时，大拇指所指的方向与 上法向量的指向相同，这时称是有向曲面的正向 边界曲线. n    定理1. (1)设光滑曲面的边界是按段光滑的连续曲线; 且有一阶连续偏导 则 在 连同 上连续 ; (2)P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z) ( ) ,     = + +         −    +        −    +        −   Pdx Qdy Rdz dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R 其中的侧与的方向按右手法则确定

Pro0.思路:曲面积分二重积分曲线积分 先证roP aP zdu dxdy=k Pdx ∑C (1)设平行于坐标轴的直线与∑的交点不多于一个,则 ∑:z=孔(x,y ∑:z=z(x,y) y=y(z,r) x=x(, 2) 设当∑为z=xxy)上侧,在 XO面上投影区域为D汤 T在xoy面上的投影曲 为C时,如图所示 D K心

Proof. 思路: 曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分    =   −   dxdy Pdx y P dzdx z P 先证 (1)设平行于坐标轴的直线与∑的交点不多于一个，则 ( , ) ( , ) : ( , ) x x y z y y z x z z x y = =  = 设当∑为z=z(x,y)上侧,在 xoy面上投影区域为Dxy, Г在xoy面上的投影曲线 为C时, 如图所示. o x y z  : z = z(x, y) Dxy C