2在极坐标下有: ∫f(x,y)do=』(rcos,rsiO)rrd0 极坐标下的二重积分可用二次积分来计算 (1)若D:g1(0)≤r≤q2(O),a≤0≤B,则 (e) r=q1(6 02( D r=1(Q f f(rcos r sin O)rdrde=re derp(e)f(rcos e,rsin O)rdr
2.在极坐标下有: = D D f (x, y)d f (r cos ,rsin )rdrd 极坐标下的二重积分可用二次积分来计算 (1)若D :1 ( ) r 2 ( ), ,则 o x ( ) r = 2 ( ) r = 1 x D o ( ) r = 1 ( ) 2 r = x o D = ( ) ( ) 2 1 f (r cos ,rsin )rdrd d f (r cos ,rsin )rdr D
(2)若D:0≤r≤p(0),c≤≤B,则 qp(6) ∫ f(rcos 6, rsin O)rdrd8 D re depot)f(rcos 8 singra (3)此时D:0≤r≤q(0,0≤0≤2m,且 Oy(0) ∫ f(rcos(, rsin 6) )rare D fo defo f(rcos e, sino)rdr K心
(2)若D : 0 r ( ), ,则 x o D r = ( ) = ( ) 0 ( cos , sin ) ( cos , sin ) d f r r rdr f r r rdrd D D o x r = ( ) (3)此时D : 0 r ( ),0 2 ,且 = 2 0 ( ) 0 ( cos , sin ) ( cos , sin ) d f r r rdr f r r rdrd D
(4)此时D:q1()sr≤q2(0,0≤0≤2m,且 r=q1() f(rcos 8, rsin O)rdrde q2(6) 0 dorp( 2丌 pi(e)J(rcos O, rsin O)rdr 要点与步骤: (1)用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用极坐 标计算; (2)极坐标适用于圆圆环,扇形区域以及被积函数含 有x2+y2等; (3)画区域图,列出θ型区域,写成极坐标下的二次积分 K心
o x ( ) r = 1 ( ) r = 2 (4)此时D :1 ( ) r 2 ( ),0 2 ,且 = 2 0 ( ) ( ) 2 1 ( cos , sin ) ( cos , sin ) d f r r rdr f r r rdrd D 要点与步骤: (1)用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用极坐 标计算; ; (2) , , 有 2 2等 极坐标适用于圆 圆环 扇形区域以及被积函数含 x + y (3) 画区域图, 列出型区域, 写成极坐标下的二次积分
3利用区域的对称性和函数的奇偶性计算二重积分 (1)若D关于y轴对称,则 2』∫(x,y)f(-x,y)=∫(x, f(x, y)dxdy f(-x,y)=-f(x,y) (2)若D关于x轴对称,则 ∫(x,y)ddf(x,-y)=f(x ∫(x,y)td={0 D 0 f(x,-y)=-∫(X,y) K心
3.利用区域的对称性和函数的奇偶性计算二重积分 − = − − = = 0 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (1) , f x y f x y f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy D y D D 右 若 关于 轴对称 则 − = − − = = 0 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (2) , f x y f x y f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy D x D D 上 若 关于 轴对称 则
4.利用换元法计算二重积分 设x=x(u,),y=y(u,v)具有一阶连续偏导, ax ax 且雅可比式J(u,v) a(x,y)au at d(u, v)a a,/×0 au av D.<二对应,D 则盯f(x,y)y=』1x(u,"),y(x,)J(u,)db K心
4.利用换元法计算二重积分 设x = x(u, v), y = y(u, v)具有一阶连续偏导, 0, ( , ) ( , ) ( , ) = = v y u y v x u x u v x y 且雅可比式J u v ( , ) [ ( , ), ( , )] ( , ) . = Dxy Duv 则 f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv , Dxy ⎯⎯⎯→ Duv 一一对应