Chapter 曲线积分与曲面积分小结 K心D
Chapter 4 曲线积分与曲面积分小结
第一部分:内容小结 对弧长的曲线积分 1定义:∫f(x,y)=Im∑f(5,m)△ →0 ∫f(x,y,z)=im∑f(5,n,97)△s ->0 2对弧长的曲线积分的性质: (JUf(x,y)士8(x,)d= f(x,y)k±,g(x,y)ds L (2)6f(x,y)d=k[,f(x,y)b(k为常数 L K心
第一部分: 内容小结 一. 对弧长的曲线积分 1.定义: ( , ) lim ( , ) . 1 0 → = = n i i i i L f x y ds f s ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 → = = n i i i i i f x y z ds f s 2.对弧长的曲线积分的性质: (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . = L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds (2) kf (x, y)ds k f (x, y)ds (k为常数). L L =
(3),f(x,y)=,∫(x,y)d+」J,f(x,y)d (L=L1+L2) (4)L f(x, y)ds AB BA f(, y)ds 对弧长的曲线积分与路径的走向无关! (5)s=d 3对弧长的曲线积分的计算: (1)直接计算法:方法:一代二换三定限 「,∫(x,y)ds ky吗1O,y(O)N(g2(+"2 a<t<B va K心
(3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 = + L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( ). L = L1 + L2 (4) ( , ) ( , ) . AB = BA f x y ds f x y ds 对弧长的曲线积分与路径的走向无关! (5) . = L s ds 3.对弧长的曲线积分的计算: (1) 直接计算法: 方法：一代二换三定限 ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) f x y ds f t t t t dt t y t x t L ===== + = =
y=y(x) 「f(x,y)ds ∫x,y(x)l1+y2(x)x a<r<h a p( ∫f(x,yd d ∫q(y),yl√1 c12 (y)dy C<K<d vc =r(O)cos 8 y=r(0)sin] L f(, y)ds a<6<B rP fIr(e)cos e,r(e)sin 012(0)+r2(0)de =0 =y(t) z=a(t) f(x, v, z)ds a<t<B ()y(,o(o)g2(o)+y2()+o2(nt K心
( , ) [ , ( )] 1 ( ) 2 ( ) f x y ds f x x x dx b a a x b y x L ===== + = ( , ) [ ( ), ] 1 ( ) 2 ( ) f x y ds f y y y dy d c c y d x y L ===== + = [ ( )cos , ( )sin ] ( ) ( ) ( , ) 2 2 ( )sin ( )cos f r r r r d f x y ds y r x r L + ===== = = [ ( ), ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) ( , , ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) f t t t t t t dt f x y z ds t z t y t x t L + + ===== = = =
(2)利用对称性简化计算 (1)当L对称于x轴时, L f(x, y)ds 21/(x,)f(x-y)=(x, f(x,-y)=-∫(X,y) (2)当L对称于y轴时, 「2f(x,)ad= 25 f(x,y)ds f(x,y)=f(,y) f(-x,y)=-f(x,y) K心
(2) 利用对称性简化计算 (1) 当L对称于x轴时, − = − − = = 0 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f x y f x y f x y ds f x y f x y f x y ds L L 上 (2) 当L对称于y轴时, − = − − = = 0 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f x y f x y f x y ds f x y f x y f x y ds L L 右