例1设V为数域P上的线性空间，只含零向量的子集合W=O?是V的一个线性子空间，称之为V的零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的子空间称为非平凡子空间例2设V为所有实函数所成集合构成的线性空间，则R[x]为V的一个子空间例3P[x],是P[x]的的线性子空间.86.5线性子空间区区
§6.5 线性子空间 例2 设V为所有实函数所成集合构成的线性空间, 则R[x]为V的一个子空间． 例3 P[x]n是P[x]的的线性子空间． 例1 设V为数域P上的线性空间，只含零向量的 子集合 是V的一个线性子空间，称之为V的 零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间. 这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的 子空间称为非平凡子空间． W = {0}
例4n元齐次线性方程组aiixi +ai2X2 +... +ainx, = 0a21Xj + a22X2 +.. +a2nxn = 0(*)asixj +as2x +..+asnxn =0的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数量乘法构成的线性空间是n维向量空间Pn的一个子空间，称W为方程组(＊)的解空间注 ①（＊)的解空间W的维数=n一秩(A)，A=(aj)sxn ;②（＊）的一个基础解系就是解空间W的一组基86.5线性子空间区区
§6.5 线性子空间 的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数 ① (＊)的解空间W的维数＝n－秩(A)， A a = ( )ij s n ； 例4 n元齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = (＊) 注 ② (＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基. 空间，称W为方程组(＊)的解空间． 量乘法构成的线性空间是n维向量空间Pn的一个子
例5判断Pn的下列子集合哪些是子空间：WI =((xi,x2,...,xn)xi +x +...+xn = 0,x, e P)W, =((xi,x2,.",x,)x +x +...+x, =1,x, e P)W, = ((xi,X2,"",xn-,)] X, e P,i =1,2,..,n-1)若为Pn的子空间，求出其维数与一组基解：Wi、W3是Pn的子空间，W,不是Pn的子空间事实上，W是n元齐次线性方程组Xi+x, +...+x,=0①的解空间．所以，维W,=n一1，①的一个基础解系86.5线性子空间
§6.5 线性子空间 例5 判断Pn的下列子集合哪些是子空间： 1 1 2 1 2 {( , , , ) 0, } W x x x x x x x P = + + + = n n i 解：W1 、 W3是Pn的子空间，W2不是Pn的子空间. 2 1 2 1 2 {( , , , ) 1, } W x x x x x x x P = + + + = n n i 3 1 2 1 {( , , , ,0) , 1,2, , 1} W x x x x P i n = = − n i − 若为Pn的子空间，求出其维数与一组基. 事实上，W1 是n元齐次线性方程组 的解空间. 所以，维W1 ＝n－1，①的一个基础解系 1 2 0 n x x x + + + = ①
ni =(1,-1,0,...,0), n2 = (1,0,-1,0,..,0),.nn-1=(1,0,,0,-1)就是W,的一组基.而在W,中任取两个向量α,β，设α =(xi,x2,...,xn), β =(yi,y2,..",yn)则 α+β=(xi+ yi,X,+ y2,"",xn +yn)但是 (x, +yi)+(x, +y2)+...+(x, + yn)=(x +x, +...+xn)+(yi + y2 +...+ yn)=1+1=2：α+βW2，故W,不是Pn的子空间。86.5线性子空间K
§6.5 线性子空间 就是W1 的一组基. 1 = − (1, 1,0, ,0), 1 (1,0, ,0, 1) n− = − , 2 = − (1,0, 1,0, ,0), 而在W2中任取两个向量 , ，设 1 2 1 2 ( , , , ), ( , , , ) n n = = x x x y y y 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n 但是 x y x y x y + + + + + + 1 2 1 2 ( ) ( ) 1 1 2 n n = + + + + + + + = + = x x x y y y 1 1 2 2 ( , , , ) n n + = + + + x y x y x y 2 + W , 则 故W2不是Pn的子空间
下证W，是Pn的子空间首先 0 =(0,0,...,0)eW3, ..W, +0其次,Vα,βeW3,VkeP,设α =(xi,x2,...,xn-1,0), β=(yi,J2,..., Jn-1,0)则有α+β=(xi +yi,X, + y2,"",Xn-1 + yn-1,0)eW3kα = (kxj,kx2,".., kxn-1,0) e W3故，W为V的一个子空间，且维W=n一1，8; =(0,.,0,1,0...,0), i=1,2,...,n-1就是W的一组基。86.5线性子空间区区
§6.5 线性子空间 故，W3为V的一个子空间，且维W3 ＝n－1 ， 1 2 1 3 ( , , , ,0) n k kx kx kx W = − 1 1 2 2 1 1 3 ( , , , ,0) n n 则有 + = + + + x y x y x y W − − 其次， 3 , , , W k P 1 2 1 1 2 1 ( , , , ,0), ( , , , ,0) n n x x x y y y 设 = = − − 3 3 首先 0 (0,0, ,0) , = W W 下证W3是Pn的子空间. (0, ,0,1,0 ,0), 1,2, , 1 i i = = − i n 就是W3的一组基