有关定理的说明: 江画工太猩院 (1)开区域G是一个单连通域 (2)函数P(x,y,Q(x,y)在G内具有一阶连 续偏导数 两条件缺一不可 1B(24) (2,4 (e+x)dx+(xe'-y)dy 0,0) A A JAB
江西理工大学理学院 (1) 开区域G是一个单连通域. (2) 函数P(x, y), Q(x, y)在G内具有一阶连 续偏导数. 两条件缺一不可 有关定理的说明： x y o (2,4) A B ∫ ∫ = + oA AB ∫ + + − (2,4) (0,0) 2 (e x)dx (xe y )dy y y
江画工太猩院 三、二元函数的全微分求积 定理3设开区域G是一个单连通域,函数 P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导 数,则P(x,y)xQ(x,y小在G内为某一 函数u(x,y)全微分的充要条件是等式 ap 00 oy ax 在G内恒成立
江西理工大学理学院 三、二元函数的全微分求积 设开区域 G是一个单连通域, 函数 P ( x , y), Q ( x , y ) 在 G 内具有一阶连续偏导 数, 则 P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy 在 G内为某一 函数 u ( x , y )的全微分的充要条件是等式 x Q y P ∂ ∂ = ∂ ∂ 在 G内恒成立. 定理3
江画工太猩院 证明: 必要性:假设存在着某一函数u(x,y),使得 du=P(x, y)dx+e(x, y)dy, 则必有a ou a r plr, v),=e(x, y) y 从而 Ou oP Ou 00 axby ay Odx 因为P、Q具有一阶连续偏导数, 则u(x,y)的二阶混合偏导数连续且相等, 故有: aP 00 ay ax
江西理工大学理学院 证明： 必要性：假设存在着某一函数u(x, y),使得 du = P(x, y)dx + Q(x, y)dy, ( , ), Q(x, y) y u P x y x u = ∂ ∂ = ∂ ∂ 则必有 x Q y x u y P x y u ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ 2 2 从而 , 因为P、Q具有一阶连续偏导数， 则u(x, y)的二阶混合偏导数连续且相等, : . x Q y P ∂ ∂ = ∂ ∂ 故有
充分性:如果= 观江西理工大兽噜院 在G内恒成立 ax 则「P+Q小在G内与路径无关 (x,y) 设u(x,y) Pax +ody (X 0 ou= lim u(x+ Ax, 3-u(x, y) ar△r->0 △ B(X, I B(x+Δ,y) u(x+ ax y)-u(x, y r(x+4r, y) r(x, y) J(o, yo) (x,y0) (x y) r (x+4r, y) r (x, y) (x+4x, y,) G Jo, yo)J(x, 050 X e x+x Pax +ody BB P(x, y)dx x
江西理工大学理学院 充分性： G ， x Q y P 如果 在 内恒成立 ∂ ∂ = ∂ ∂ 则 Pdx Qdy 在 G内与路径无关 L∫ + ∫ = + ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) x y x y 设 u x y Pdx Qdy x y o B ( x , y ) A ( , ) 0 0 x y . . B′( x + ∆x , y ) G x u x x y u x y x u x ∆ + ∆ − = ∂ ∂ ∆ → ( , ) ( , ) lim0 u ( x + ∆x , y ) − u ( x , y ) ∫ ∫ + = − ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 x x y x y x y x y ∆ ∫ ∫ + = + ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 x y x y x x y x y ∆ ∫ − ( , ) ( , ) 0 0 x y x y ∫ + = ( , ) ( , ) x x y x y ∆ ∫ ′ = + B B Pdx Qdy . ∫ + = x x x P x y dx ∆ ( , )