B.最小值V2A最小值2D.最大值V2C.最大值2解析：选B易知y=(x-1)+2，因为(x-1)2+2≥2，所以y≥Vz.故选B【记结论提速度][记结论]1.若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数，的单调性相反，2. 函数 y=(c0(Lt>0 或 N)<0)在公共定义域内与 y=-1), J一的a>0)的单调增区间为(一，一Va)，(Na，+)；单调减区3.“对勾函数”y=x间是[一Va，0)，(0，Va]4.增函数与减函数形式的等价变形：Vx1,x2E[a,b]且x1±x2,则(x1一x2)[(x1)一(x2)>0合二0()在[, 上是增面数; (1-对)) (]<0一,二2<0分f(x)XI-X2XI-X在[a，b]上是减函数[提速度]1.下列函数中，满足“Vx1，x2E(0，+00)且x1≠x2，(x1一x2)[(x1)一/(x2)<0”的是）(A. f(x)=2rB. (x)=x-1)1C. f(x)=D. f(x)=In(x+1)t解析：选C由(x1-x2)[(x1)-(x2)<0可知，J(x)在(0，+0)上是减函数，AD选项中,N(c)为增函数; B中,()=b-1)在(0 + 0)上不单调;对于 (s)=-×,因为 y=与J=-x在(0，+)上单调递减，因此(x)在(0，+0)上是减函数。2．下列有关函数单调性的说法，不正确的是（）A若(x)为增函数，g(x)为增函数，则(x)+g(x)为增函数B. 若 f(x)为减函数，g(x)为减函数，则,(x)+g(x)为减函数C.若(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)十g(x)为增函数D。若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则,(x)一g(x)为减函数解析：选C由结论1可知选项C的说法不正确，考点分类突破理解透规律明变化究其本课堂讲练第21页共160页
第 21 页 共 160 页 A．最小值 2 B．最小值 2 C．最大值 2 D．最大值 2 解析：选 B 易知 y＝ (x－1) 2＋2，因为(x－1)2＋2≥2，所以 y≥ 2.故选 B. [记结论·提速度] [记结论] 1．若 f(x)，g(x)均为区间 A 上的增(减)函数，则 f(x)＋g(x)也是区间 A 上的增(减)函数． 2．函数 y＝f(x)(f(x)>0 或 f(x)＜0)在公共定义域内与 y＝－f(x)，y＝ 1 f(x) 的单调性相反． 3．“对勾函数”y＝x＋ a x (a＞0)的单调增区间为(－∞，－ a)，( a，＋∞)；单调减区 间是[－ a，0)，(0， a]． 4．增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且 x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 ⇔ f(x1)－f(x2) x1－x2 >0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔ f x1 －f x2 x1－x2 <0⇔f(x) 在[a，b]上是减函数． [提速度] 1．下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且 x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是 ( ) A．f(x)＝2 x B．f(x)＝|x－1| C．f(x)＝ 1 x －x D．f(x)＝ln(x＋1) 解析：选 C 由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0 可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A、D 选项 中，f(x)为增函数；B 中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；对于 f(x)＝ 1 x －x，因为 y＝ 1 x 与 y＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此 f(x)在(0，＋∞)上是减函数． 2．下列有关函数单调性的说法，不正确的是( ) A．若 f(x)为增函数，g(x)为增函数，则 f(x)＋g(x)为增函数 B．若 f(x)为减函数，g(x)为减函数，则 f(x)＋g(x)为减函数 C．若 f(x)为增函数，g(x)为减函数，则 f(x)＋g(x)为增函数 D．若 f(x)为减函数，g(x)为增函数，则 f(x)－g(x)为减函数 解析：选 C 由结论 1 可知选项 C 的说法不正确．
考点—确定函数的单调性（区间）[定向精析突破]考向1确定不含参函数的单调性（区间）[例 1](1)函数,(x)=2—3x+2|的单调递增区间是(), +和[2,+)3.1C. (-8, 1)利, 2]和[2,+80)(2)函数y=2+x—6的单调递增区间为，单调递减区间为[解析】(1)y=2-3x+2][x2 -3x+2,x≤1或x≥2,1 - (x2 - 3x + 2) , 1<x<2.4如图所示，函数的单调递增区间是+8)和[2(2)令u=x2 +x - 6,则y=x+x-6可以看作是由y=Vi与u=x2+x-6复合而成的函数。令u=x2+x-6≥0，得x≤-3或x≥2.易知u=x2+x-6在(-，-3]上是减函数，在[2，+0)上是增函数，而y=在[0,+80上是增函数，y=2+x-6的单调递减区间为(-°，-3]，单调递增区间为[2，+),[答案] (1)B(2)[2,+)(—，—3]考向2确定含参函数的单调性(区间)ax[例2]试讨论函数(x)==,=(a0)在(—1,1)上的单调性.[解] 法一(定义法) :设—1<xi<x2<1,=()=(+),则 x)-x2)=d(1+,一)-a(+,)第22页共160页
第 22 页 共 160 页 确定函数的单调性(区间) [定向精析突破] 考向 1 确定不含参函数的单调性(区间) [例 1] (1)函数 f(x)＝|x 2－3x＋2|的单调递增区间是( ) A. 3 2 ，＋∞ B. 1， 3 2 和[2，＋∞) C．(－∞，1]和 3 2 ，2 D． －∞， 3 2 和[2，＋∞) (2)函数 y＝ x 2＋x－6的单调递增区间为_，单调递减区间为_． [解析] (1)y＝|x 2－3x＋2| ＝ x 2－3x＋2，x≤1或x≥2， －(x 2－3x＋2)，1<x<2. 如图所示，函数的单调递增区间是 1， 3 2 和[2，＋∞)． (2)令 u＝x 2＋x－6， 则 y＝ x 2＋x－6可以看作是由 y＝ u与 u＝x 2＋x－6 复合而成的函数． 令 u＝x 2＋x－6≥0，得 x≤－3 或 x≥2. 易知 u＝x 2＋x－6 在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而 y＝ u在[0， ＋∞)上是增函数， ∴y＝ x 2＋x－6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)． [答案] (1)B (2)[2，＋∞) (－∞，－3] 考向 2 确定含参函数的单调性(区间) [例 2] 试讨论函数 f(x)＝ ax x－1 (a≠0)在(－1,1)上的单调性． [解] 法一(定义法)：设－1<x1<x2<1， f(x)＝a x－1＋1 x－1 ＝a 1＋ 1 x－1 ， 则 f(x1)－f(x2)＝a 1＋ 1 x1－1 －a 1＋ 1 x2－1
a(x-x)(m-1)(x-1)由于一1<i<x2<1,所以 x2-xi>0，X1-1<0,x2-1<0,故当a>0 时，J(xi)一(x2)>0,即 f(xi)>f(x2),函数f(x)在(一1,1)上单调递减；当 a<0 时,(x1)一f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函数(x)在(一1,1)上单调递增，_(ax)' (x-1)-ax(x-1)法二(导数法):" (x)=(x- 1)2a_a(x-1)-ax(x- 1)2(x- 1)2"当a>0时，f"(x)<0，函数f(x)在(一1,1)上单调递减；当 a<0 时，"(x)>0，函数f(x)在(一1,1)上单调递增.[规律探求]考向1中的函数不含有参数.解决此类问题时，首先确定定义域，然后利用单调性的定义或借助图象求解即可。看个性考向2是在考向1的基础上增加了参数，解决此类问题除利用定义外，导数法是一种非常有效的方法，注意分类讨论思想的应用无论考向1还是考向2，判断函数单调性常用以下几种方法：(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号一得出结论；找共性(2)图象法：如果(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性；(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间【跟踪训练]判断函数(x)=x+(a>0)在区间(0, +0)上的单调性,解：设x1,X2E(0，+)，且xI<x2有 x1) )=(1+) (+)第23页共160页
第 23 页 共 160 页 ＝ a(x2－x1) (x1－1)(x2－1) . 由于－1<x1<x2<1， 所以 x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当 a>0 时，f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)， 函数 f(x)在(－1,1)上单调递减； 当 a<0 时，f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)， 函数 f(x)在(－1,1)上单调递增． 法二(导数法)：f′(x)＝ (ax)′(x－1)－ax(x－1)′ (x－1) 2 ＝ a(x－1)－ax (x－1) 2 ＝－ a (x－1) 2 . 当 a>0 时，f′(x)<0，函数 f(x)在(－1,1)上单调递减； 当 a<0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(－1,1)上单调递增． [规律探求] 看个性 考向 1 中的函数不含有参数．解决此类问题时，首先确定定义域，然 后利用单调性的定义或借助图象求解即可． 考向 2 是在考向 1 的基础上增加了参数，解决此类问题除利用定义 外，导数法是一种非常有效的方法，注意分类讨论思想的应用 找共性 无论考向 1 还是考向 2，判断函数单调性常用以下几种方法： (1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论； (2)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，则 可由图象的上升或下降确定单调性； (3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间 [跟踪训练] 判断函数 f(x)＝x＋ a x (a>0)在区间(0，＋∞)上的单调性． 解：设 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1<x2， 有 f(x1)－f(x2)＝ x1＋ a x1 － x2＋ a x2
X1-X2(xix2 -a) .XiX2当0<xi<x2≤a时，0<xix2<a, x1 -x2<0,所以(xl) - f(x2)>0 ,即 (x1)>f(x2) ,所以函数(x)在区间(0，Va|上单调递减;当Va<≤xi<x2时, X1X2>a , X1 -X2<0 ,所以(x1) - J(x2)<0 ,即F(x1)<f(x2) ,所以函数(x)在区间[Va，+)上单调递增=(a>0)在区间(0，Va j上单调递减，在区间[Va，+)上单调综上可知，函数(x)=x+递增考点二函数单调性的应用[定向精析突破]考向1比较函数值的大小[例 3]已知函数(x)的图象关于直线x=1对称，当x2>xi>1 时,[/(x2)一(x1)](x2一xi)<0恒成立，设a=八),b=(2)，c=f(e)，则 a，b，c 的大小关系为(B. c>b>aA. c>a>bC. a>e>bD. b>a>c[解析] 由,(x)的图象关于直线x=1 对称,可得(-)=)由x>xi>1 时,[(x) x)(x2-xi)<0恒成立，知(x)在(1，+0)上单调递减。5f(e) ,..b>a>c.:1<2(2)[答案]D考向2解函数不等式[例 4] 已知函数 (x)=一xx，xE(一1,1)，则不等式(1一m)<(mt一1)的解集为[x, -1<x≤0,【解析］由已知得(x)：则(x)在(-1,1)上单调递减，所以-x,0<x<1,第24页共160页
第 24 页 共 160 页 ＝ x1－x2 x1x2 (x1x2－a)． 当 0<x1<x2≤ a时， 0<x1x2<a，x1－x2<0， 所以 f(x1)－f(x2)>0， 即 f(x1)>f(x2)， 所以函数 f(x)在区间(0， a ]上单调递减； 当 a≤x1<x2 时，x1x2>a，x1－x2<0， 所以 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)， 所以函数 f(x)在区间[ a，＋∞)上单调递增． 综上可知，函数 f(x)＝x＋ a x (a>0)在区间(0， a ]上单调递减，在区间[ a，＋∞)上单调 递增． 函数单调性的应用 [定向精析突破] 考向 1 比较函数值的大小 [例 3] 已知函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，当 x2>x1>1 时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0 恒成立，设 a＝f － 1 2 ，b＝f(2)，c＝f(e)，则 a，b，c 的大小关系为( ) A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c [解析] 由 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，可得 f － 1 2 ＝f 5 2 .由 x2>x1>1 时，[f(x2)－ f(x1)]·(x2－x1)<0 恒成立，知 f(x)在(1，＋∞)上单调递减． ∵1<2< 5 2 <e，∴f(2)>f 5 2 >f(e)，∴b>a>c. [答案] D 考向 2 解函数不等式 [例 4] 已知函数 f(x)＝－x|x|，x∈(－1,1)，则不等式 f(1－m)＜f(m2－1)的解集为 _． [ 解 析 ] 由已知得 f(x) ＝ x 2 ，－1＜x≤0， －x 2，0＜x＜1， 则 f(x) 在( －1,1)上单调递减，所以
-1<1-m<1,-1<m2-1<1,解得0<m<1，所以所求不等式的解集为(0,1）.(m2-1<1-m,[答案] (0,1)考向3利用函数的单调性求参数a.a[例5](1)已知函数(x)=x在(1，+)上是增函数，则实数a的取值范围是x2;[(3a-1)x+4a,x<1,(2)若,(x)=是定义在R上的减函数，则a的取值范围为-ax,x≥1[解析] (1)设1<xi<x2,:xix2>1.：函数f(x)在(1，+)上是增函数，(2--+9)-(x1) -(x2)=x1 -=+9- (X2X22= (x1 ~ x2)(1:x1 -x2<0,..1 +>0，即a>-XiX2.XLX21<x<x2, X1x2>1,.. -X1X2<-1,.a≥ - 1a的取值范围是[-1，+8）.(2)由题意知，[3a-1<0,(3a-1)×1+4a≥—a,1解得a7La>0,a>0,所以 ae[答案】 (1)[-1,+) (2)[规律探求]考向1是比较函数值的大小，解决此类问题时，应根据函数的性质（如看个性对称性等）将自变量转化到函数的同一个单调区间上，利用单调性比较第25页共160页
第 25 页 共 160 页 －1＜1－m＜1， －1＜m2－1＜1， m2－1＜1－m， 解得 0＜m＜1，所以所求不等式的解集为(0,1)． [答案] (0,1) 考向 3 利用函数的单调性求参数 [例 5] (1)已知函数 f(x)＝x－ a x ＋ a 2 在(1，＋∞)上是增函数，则实数 a 的取值范围是 _； (2)若 f(x)＝ (3a－1)x＋4a，x<1， －ax，x≥1 是定义在R上的减函数，则a的取值范围为_． [解析] (1)设 1<x1<x2，∴x1x2>1. ∵函数 f(x)在(1，＋∞)上是增函数， ∴f(x1)－f(x2)＝x1－ a x1 ＋ a 2 － x2－ a x2 ＋ a 2 ＝(x1－x2) 1＋ a x1x2 <0. ∵x1－x2<0，∴1＋ a x1x2 >0，即 a>－x1x2. ∵1<x1<x2，x1x2>1，∴－x1x2<－1，∴a≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)． (2)由题意知， 3a－1<0， (3a－1)×1＋4a≥－a， a>0， 解得 a< 1 3 ， a≥ 1 8 ， a>0， 所以 a∈ 1 8 ， 1 3 . [答案] (1)[－1，＋∞) (2) 1 8 ， 1 3 [规律探求] 看个性 考向 1 是比较函数值的大小．解决此类问题时，应根据函数的性质(如 对称性等)将自变量转化到函数的同一个单调区间上，利用单调性比较