s4.群的同态4.1复习同态4.2同态应用到群
§4.群的同态 • 4.1 复习同态 • 4.2 同态应用到群
4.1复习同态同态映射,单同态(映射),满同态(映射),同构(映射）两个代数系统的同态，同构，性质
4.1 复习同态 同态映射,单同态(映射),满同态(映射),同构(映射) 两个代数系统的同态,同构,性质
4.2同态应用到群定理1假定G与G是两个同态的代数系统,如果是群，那么G也是一个群证明G显然适合群定义的条件I，G的乘法适合结合律，而G与G同态，由I，8，定理1，G的乘法也适合结合律，所以G适合群定义的条件Ⅱ，我们证明G也适合IV，V两条：设：f:G→G是满同态(映射）
4.2同态应用到群 定理１假定 与 是两个同态的代数系统,如果 是群，那么 也是一个群． G G G G 证明 显然适合群定义的条件Ⅰ， 的乘法适 合结合律，而 与 同态，由Ⅰ，８，定理１， 的乘法也适合结合律，所以 适合群定义的条件 Ⅱ，我们证明 也适合Ⅳ，Ⅴ两条．设: 是满同态(映射) G G G G G G G f G G : →
IV.f(e)=é就是的一个左单位元．假定a是G的任意元,而 α是α的一个逆象：f(a)=a那么 ea= f(e)f(a)=...=aV．假定α是G的任意元，α是α的一个逆象：f(a)=a那么f(a)是α的左逆元f(a-")a=...=é
Ⅳ． 就是 的一个左单位元．假定 是 的任意元,而 是 的一个逆象: 那么 f e e ( ) = G a G a a f a a ( ) = ea f e f a a = = = ( ) ( ) . Ⅴ．假定 是 的任意元， 是 的一个逆象: 那么 是 的左逆元. a G a a f a a ( ) = 1 f a( ) − a 1 f a a e ( ) − = =
例1在Z上定义运算α@b=a+b-l证明乙关于给定的运算构成群证明 设 G=Z,运算为普通的加法,它构成群设 G=Z,运算为给定的 ④构造: f:G→G,f(a)=a+1
例１在 上定义运算 证明 关于给定的运算构成群. Z a b a b = + −1 Z 证明 设 ,运算为普通的加法,它构成群. 设 , 运算为给定的 构造: , . G Z = G Z = f G G : → f a a ( ) 1 = +