第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角、斜率与直线的方程[备考领航]课程标准解读关联考点核心素养1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数1.直线的倾斜角与斜率，1.数学运方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜2.直线的方程。算率的计算公式。3.直线方程的综合应用2.直观想象3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）体会斜截式与一次函数的关系知识逐点夯实重点准逐点清结论要牢记课前自修[重点准·逐点清]重点一直线的倾斜角与斜率1.倾斜角的定义一个基准取x轴作为基准直线1与轴相交轴正方向两种情远两个方向直线1向上方向直线1与x轴平行规定倾斜角为0或重合[提醒]］直线的倾斜角α的取值范围是[0，元】.2.直线的斜率条件公式直线的倾斜角0，且090°k=tan =直线过点A(x1，J)，B(x2，J2)且x1±x2X1-X2
第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角、斜率与直线的方程 [备考领航] 课程标准解读 关联考点 核心素养 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确 定直线位置的几何要素． 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数 方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜 率的计算公式． 3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直 线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)体会 斜截式与一次函数的关系 1.直线的倾斜角与斜率． 2.直线的方程． 3.直线方程的综合应用 1.数学运 算． 2.直观想象 [重点准·逐点清] 重点一 直线的倾斜角与斜率 1．倾斜角的定义 [提醒] 直线的倾斜角 α 的取值范围是[0，π)． 2．直线的斜率 条件 公式 直线的倾斜角 θ，且 θ≠90° k＝tan_θ 直线过点 A(x1，y1)，B(x2，y2)且 x1≠x2 k＝ y1－y2 x1－x2
=-A直线Ax+By十C=0(B0)B[提醒］如果y2=yi且x2≠x，则直线与x轴平行或重合，斜率等于0：如果y2≠yX2=X1，则直线与x轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在.[逐点清]1.（多选）关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是（A。任一直线都有倾斜角，都存在斜率B.倾斜角为135°的直线的斜率为一1C.若一条直线的倾斜角为a，则它的斜率为k=tanaD.直线斜率的取值范围是（一80，十8)解析：选BD任一直线都有倾斜角，但不都存在斜率；倾斜角为135°的直线的斜率为-1；若一条直线的倾斜角为aα且不为直角，则它的斜率为k=tanα；直线斜率的取值范围是(-8，+80).故选B、D.2.（必修2第89页A组4题改编）诺过点M(一2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(）A. 1B. 4D.1或4C.1或3m-4解析：选A由题意得=1，解得m=1-2-m3.（易错）)直线x+V3y+1=0的倾斜角是()A."B. "632元5元C.D.36V3解析：选D由直线的方程得直线的斜率为k=设直线的倾斜角为α，则tana35元.故选D，又αE[0，元），所以=36重点二直线方程的五种形式名称方程几何条件适用条件斜截式纵截距、斜率y=kx+b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率与x轴不垂直的直线yVo=k(xxo)
直线 Ax＋By＋C＝0(B≠0) k＝－ A B [提醒] 如果 y2＝y1 且 x2≠x1，则直线与 x 轴平行或重合，斜率等于 0；如果 y2≠y1 且 x2＝x1，则直线与 x 轴垂直，倾斜角等于 90°，斜率不存在． [逐点清] 1．(多选)关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是( ) A．任一直线都有倾斜角，都存在斜率 B．倾斜角为 135°的直线的斜率为－1 C．若一条直线的倾斜角为 α，则它的斜率为 k＝tan α D．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞) 解析：选 BD 任一直线都有倾斜角，但不都存在斜率；倾斜角为 135°的直线的斜率为 －1；若一条直线的倾斜角为 α 且不为直角，则它的斜率为 k＝tan α；直线斜率的取值范围 是(－∞，＋∞)．故选 B、D. 2．(必修 2 第 89 页 A 组 4 题改编)若过点 M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为( ) A．1 B．4 C．1 或 3 D．1 或 4 解析：选 A 由题意得 m－4 －2－m ＝1，解得 m＝1. 3．(易错题)直线 x＋ 3y＋1＝0 的倾斜角是( ) A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 解析：选 D 由直线的方程得直线的斜率为 k＝－ 3 3 ，设直线的倾斜角为 α，则 tan α ＝－ 3 3 ，又 α∈[0，π)，所以 α＝ 5π 6 .故选 D. 重点二 直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与 x 轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 与 x 轴不垂直的直线
y-yix-xi两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线y2-yI X2-XI不过原点且与两坐标轴均不垂+截距式纵、横截距a+6=1直的直线Ax+By+C=0一般式所有直线(A+B0)【提醒】求直线方程时要注意判断直线的斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率。[逐点清]34.（必修2第95页3题改编）已知直线/经过点P(一2,5)，且斜率为一则直线/的方4程为（）B.3x—4y+14=0A.3x+4y-14=0C.4x+3y-14=0D.4x-3y+14=0解析：选A由y-5=(x+2)，得3x+4y-14=0.5.（必修2第96页例4改编)已知△ABC的三个顶点坐标为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为(A.2x+y-12=0B.2x-y-12=0C.2x+y-8=0D.2x-y+8=0J-4x-2解析：选C由题知M(2,4)，N(3,2)，中位线MN所在直线的方程为整理2-43-2得2x+y-8=06.（易错题)经过点P(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为解析：设直线/在x轴，y轴上的截距均为a，若a=0，即/过点(0,0)和（4,1），所以/的+=1,因为/过点(4,1)，所以+=K，即x-4y=0.若a≠0，设/的方程为方程为y=aaaa1，所以a=5，所以/的方程为x+y-5=0.综上可知，所求直线的方程为x-4y=0或x+y- 5 = 0.答案：x—4y=0或x+y-5=0【记结论提速度][记结论]
两点式 过两点 y－y1 y2－y1 ＝ x－x1 x2－x1 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 x a ＋ y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂 直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A 2＋B 2≠0) 所有直线 [提醒] 求直线方程时要注意判断直线的斜率是否存在．每条直线都有倾斜角，但不一 定每条直线都存在斜率． [逐点清] 4．(必修 2 第 95 页 3 题改编)已知直线 l 经过点 P(－2,5)，且斜率为－3 4 ，则直线 l 的方 程为( ) A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0 C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0 解析：选 A 由 y－5＝－ 3 4 (x＋2)，得 3x＋4y－14＝0. 5．(必修 2 第 96 页例 4 改编)已知△ABC 的三个顶点坐标为 A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M 为 AB 的中点，N 为 AC 的中点，则中位线 MN 所在直线的方程为( ) A．2x＋y－12＝0 B．2x－y－12＝0 C．2x＋y－8＝0 D．2x－y＋8＝0 解析：选 C 由题知 M(2,4)，N(3,2)，中位线 MN 所在直线的方程为 y－4 2－4 ＝ x－2 3－2 ，整理 得 2x＋y－8＝0. 6．(易错题)经过点 P(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_． 解析：设直线 l 在 x 轴，y 轴上的截距均为 a，若 a＝0，即 l 过点(0,0)和(4,1)，所以 l 的 方程为 y＝ 1 4 x，即 x－4y＝0.若 a≠0，设 l 的方程为x a ＋ y a ＝1，因为 l 过点(4,1)，所以4 a ＋ 1 a ＝ 1，所以 a＝5，所以 l 的方程为 x＋y－5＝0.综上可知，所求直线的方程为 x－4y＝0 或 x＋y －5＝0. 答案：x－4y＝0 或 x＋y－5＝0 [记结论·提速度] [记结论]
1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系元-20<a<"元a<a<元22k>0k<0不存在0k牢记口决：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”2.特殊直线的方程(1)直线过点Pi(xi，yi)，垂直于x轴的方程为x=x1;(2)直线过点Pi(x1，y)，垂直于y轴的方程为y=y1s(3)y轴的方程为x=0;(4)x轴的方程为y=0.[提速度]1.直线x+(α2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是(0A. [. 2]B. [, x]c. [o, ], x]D. []7解析：选B由直线方程可得该直线的斜率为-，又-1≤<0，所以倾斜α+1a2 +1[3元角的取值范围是，元2.若经过点A(1一t,1十t)和点B(3,2t)的直线1的倾斜角α为0，则直线1的方程为解析：因直线的倾斜角为0，则1+=2t，t=1，直线1的方程为y=2.答案：y=2考点分类突破理解透规律明变化究其本课堂讲练考点一直线的倾斜角与斜率[师生共研过关][例 1] (I)直线 2xcosα-y-3=0(a=[, D)的倾斜角的取值范围是(.A. L引]B. [引].,引D. [F, ]C
1．直线的倾斜角 α 和斜率 k 之间的对应关系 α 0 0＜α＜ π 2 π 2 π 2 ＜α＜π k 0 k＞0 不存在 k＜0 牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线； 遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”． 2．特殊直线的方程 (1)直线过点 P1(x1，y1)，垂直于 x 轴的方程为 x＝x1； (2)直线过点 P1(x1，y1)，垂直于 y 轴的方程为 y＝y1； (3)y 轴的方程为 x＝0； (4)x 轴的方程为 y＝0. [提速度] 1．直线 x＋(a 2＋1)y＋1＝0 的倾斜角的取值范围是( ) A． 0， π 4 B． 3π 4 ，π C． 0， π 4 ∪ π 2 ，π D． π 4 ， π 2 ∪ 3π 4 ，π 解析：选 B 由直线方程可得该直线的斜率为－ 1 a 2＋1 ，又－1≤－ 1 a 2＋1 ＜0，所以倾斜 角的取值范围是 3π 4 ，π . 2．若经过点 A(1－t,1＋t)和点 B(3,2t)的直线 l 的倾斜角 α 为 0，则直线 l 的方程为 _． 解析：因直线的倾斜角为 0，则 1＋t＝2t，∴t＝1，∴直线 l 的方程为 y＝2. 答案：y＝2 直线的倾斜角与斜率 [师生共研过关] [例 1] (1)直线 2xcos α－y－3＝0 α∈ π 6 ， π 3 的倾斜角的取值范围是( ) A． π 6 ， π 3 B． π 4 ， π 3 C． π 4 ， π 2 D． π 4 ， 2π 3
(2)直线/过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线1斜率的取值范围为[解析】(1)直线2xcosα-y-3=0的斜率k=2cosα，V3元元,].所以≤cosa≤因为aE2因此k=2.cosαE[1,V3 ].设直线的倾斜角为，则有tanQE[1，V3]又E[0, ) , 所以 0,] 元元即倾斜角的取值范围是(2)如图，设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAF=1，直线PB的斜率是kBp=-V3，当直线/由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，+)当直线/由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是（00 , - y3 1.故直线/斜率的取值范围是(-°，-V3JU[1，+)[答案] (1)B (2)(-0, -V3 ]JU[1, +)[对点变式]1.(变条件)若本例(1)的条件变为“直线xsina十y十2=0”的倾斜角的取值范围为解析：设直线的倾斜角为，则有tan0=-sinα.因为sinaE[-1,1]，所以-1≤tan元3元0≤1,又0E[0,元),所以 0≤0≤≤0<元?4答案：[0, ][，]2.(变条件)若将本例(2)中“P(1,0)改为P(一1,0)”，其他条件不变，则直线1斜率的取值范围为解析：设直线/的斜率为k，则直线/的方程为y=k(x+1)），即kx-y+k=0.：A，B两点在直线1的两侧或其中一点在直线1上，:(2k - 1+ k)(- V3 +k)≤0
(2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率 的取值范围为_． [解析] (1)直线 2xcos α－y－3＝0 的斜率 k＝2cos α， 因为 α∈ π 6 ， π 3 ，所以1 2 ≤cos α≤ 3 2 ， 因此 k＝2·cos α∈[1， 3 ]． 设直线的倾斜角为 θ，则有 tan θ∈[1， 3 ]． 又 θ∈[0，π)，所以 θ∈ π 4 ， π 3 ， 即倾斜角的取值范围是 π 4 ， π 3 . (2)如图，设 PA 与 PB 的倾斜角分别为 α，β，直线 PA 的斜率是 kAP ＝1，直线 PB 的斜率是 kBP＝－ 3，当直线 l 由 PA 变化到与 y 轴平行的 位置 PC 时，它的倾斜角由 α 增至 90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)． 当直线 l 由 PC 变化到 PB 的位置时，它的倾斜角由 90°增至 β，斜率的变化范围是(－ ∞，－ 3 ]． 故直线 l 斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． [答案] (1)B (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞) [对点变式] 1.(变条件)若本例(1)的条件变为“直线 xsin α＋y＋2＝0”的倾斜角的取值范围为 _． 解析：设直线的倾斜角为 θ，则有 tan θ＝－sin α.因为 sin α∈[－1,1]，所以－1≤tan θ≤1，又 θ∈[0，π)，所以 0≤θ≤ π 4 或 3π 4 ≤θ＜π. 答案： 0， π 4 ∪ 3π 4 ，π 2.(变条件)若将本例(2)中“P(1,0)改为 P(－1,0)”，其他条件不变，则直线 l 斜率的取值 范围为_． 解析：设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y＝k(x＋1)，即 kx－y＋k＝0. ∵A，B 两点在直线 l 的两侧或其中一点在直线 l 上， ∴(2k－1＋k)(－ 3＋k)≤0