第五章平面向量、复数第一节平面向量的概念及线性运算[备考领航]课程标准解读关联考点核心素养1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表1.平面向量的有关示.概念.1.数学抽象.2.通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几2.平面向量的线性2.直观想象.何意义运算.3.数学运算3.共线向量定理的3.掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两应用个向量共线的含义.4.了解向量的线性运算性质及其几何意义知识逐点夯实重点准遂点清结论要牢记课前自修【重点准·逐点清]重点一向量的有关概念1：向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（模）.2.零向量：长度为0的向量，记作03.单位向量：长度等于1个单位长度的向量，4.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：零向量与任一向量平行.5.相等向量：长度相等且方向相同的向量。6.相反向量：长度相等且方向相反的向量[提醒]】（1任意向量a的模都是非负实数，即a|≥0(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量第1页共70页
第 1 页 共 70 页 第五章 平面向量、复数 第一节 平面向量的概念及线性运算 [备考领航] 课程标准解读 关联考点 核心素养 1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景， 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表 示． 2.通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几 何意义． 3.掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两 个向量共线的含义． 4.了解向量的线性运算性质及其几何意义 1.平面向量的有关 概念． 2.平面向量的线性 运算． 3.共线向量定理的 应用 1.数学抽象． 2.直观想象． 3.数学运算 [重点准·逐点清] 重点一 向量的有关概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(模)． 2．零向量：长度为0的向量，记作 0. 3．单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：零向量与任一向量 平行． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． [提醒] (1)任意向量 a 的模都是非负实数，即|a|≥0； (2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量 a 平行的单位向量
aa有两个，即向量一和-[a][a][逐点清]1.(多选)以下说法正确的是(A，零向量与任一非零向量平行B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量解析：选ABD对于A，根据零向量的性质，可知A是正确的；对于B，由零向量的模是0，单位向量的模是1，所以B是正确的；对于C，平行向量的方向相同或相反，所以C是不正确的；对于D，由平行向量的性质可知，平行向量就是共线向量，所以D是正确的，故选AB、D.重点二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律ath交换律：a+b=b+a;求两个向量和的三角形法则加法结合律：(a+b)+c=a+(b运算b/atb.+c)平行四边形法则求a与b的相反减法a-b=a+(-b)向量一b 的和的三角形法则运算[a]=[[a]，当>0 时，2a(μa)=(2μ)a;与a的方向相同；求实数1与向量数乘(2+μ)a=1a+μa;当<0时，a与a的方向a的积的运算相反；(a+b)=ra+ab当2=0时，2a=0第2页共70页
第 2 页 共 70 页 有两个，即向量 a |a| 和－ a |a| . [逐点清] 1．(多选)以下说法正确的是( ) A．零向量与任一非零向量平行 B．零向量与单位向量的模不相等 C．平行向量方向相同 D．平行向量一定是共线向量 解析：选 ABD 对于 A，根据零向量的性质，可知 A 是正确的； 对于 B，由零向量的模是 0，单位向量的模是 1，所以 B 是正确的； 对于 C，平行向量的方向相同或相反，所以 C 是不正确的； 对于 D，由平行向量的性质可知，平行向量就是共线向量，所以 D 是正确的，故选 A、 B、D. 重点二 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的 运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b ＋c) 减法 求 a 与 b 的相反 向量－b 的和的 运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数 λ 与向量 a 的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当 λ>0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ<0 时，λa 与 a 的方向 相反； 当 λ＝0 时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
【提醒】向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量的终点”；平行四边形法则要素是“起点重合”，[逐点清]2.（必修4第86 贡例 4 改编)如图，口ABCD的对角线交于 M，若AB=a，D=b,用a，b表示MD为()B.A.oC.D.34舞析:选D -b-(-)--0--2a+2h213.（多选)给出下面四个选项，其中正确的是()A. AB+BA=0B. AB + BC = ACC. AB+ AC-BCD. 0-AB-BA解析：选ABD因为AB+BA=AB-AB=0，A正确；AB+BC=AC，由向量加法知B正确；AB+AC-BC，不满足加法运算法则，C错误；由AB+BA=0，所以BA=0-AB，故D正确.故选A、B、D.4.（必修4第87贡练习2题改编）化简：(1)(AB + MB)+ BO +OM=(2)+QP+MN-MP=解析：(1)原式=AB+BO+OM+MB-AB(2)原式=NP+PN=0.答案：(1)AB(2)0重点三向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数入，使得b=.a.第3页共70页
第 3 页 共 70 页 [提醒] 向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法 则要素是“起点重合，指向被减向量的终点”；平行四边形法则要素是“起点重合”． [逐点清] 2．(必修 4 第 86 页例 4 改编)如图，▱ABCD 的对角线交于 M，若 AB ―→＝a，AD―→＝b，用 a，b 表示MD ―→为( ) A． 1 2 a＋ 1 2 b B． 1 2 a－ 1 2 b C．－ 1 2 a－ 1 2 b D．－ 1 2 a＋ 1 2 b 解析：选 D MD―→＝ 1 2 BD―→＝ 1 2 ( AD―→－AB―→)＝ 1 2 (b－a)＝－ 1 2 a＋ 1 2 b. 3．(多选)给出下面四个选项，其中正确的是( ) A． AB ―→＋ BA―→＝0 B． AB ―→＋ BC―→＝ AC ―→ C． AB ―→＋ AC―→＝ BC ―→ D．0－ AB ―→＝ BA―→ 解析：选 ABD 因为 AB ―→＋ BA―→＝ AB ―→－ AB―→＝0，A 正确； AB ―→＋ BC―→＝AC―→，由向量加法知 B 正确； AB ―→＋ AC―→＝BC―→，不满足加法运算法则，C 错误； 由AB―→＋ BA ―→＝0，所以BA―→＝0－ AB ―→，故 D 正确．故选 A、B、D. 4．(必修 4 第 87 页练习 2 题改编)化简： (1)( AB ―→＋MB ―→)＋ BO―→＋OM―→＝ ； (2) NQ ―→＋ QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝ . 解析：(1)原式＝ AB―→＋BO―→＋OM―→＋MB ―→＝ AB ―→. (2)原式＝ NP ―→＋ PN―→＝0. 答案：(1) AB―→ (2)0 重点三 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得 b＝λa
[提醒]］只有（≠0才保证实数入的存在性和唯一性.[逐点清]5.（必修4第77贡习题A组3题改编）如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论错误的是(AA. EF-CDB.AB与DE共线C.BD与CD是相反向量D. AE:LAC解析：选D选项D中，AE-,A-c,所以 D 错误.6.（易错题)对于非零向量a，b，“a十b=0”是“a//b”的(9A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A若a+b=0，则a=-b，所以allb.若allb，则a+b=0不一定成立.故前者是后者的充分不必要条件，故选A。【记结论提速度][记结论]1.若 P为线段AB 的中点，0为平面内任一点，则OP-;(i+OB).22.0A=2OB+μOC(a，μ为实数)，若点A，B，C三点共线，则2+μ=1.[提速度]1.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=）-I:AR3ACACA.B.44AB+!C.ACD.AB+AC4444解析：共70页第4页
第 4 页 共 70 页 [提醒] 只有 a≠0 才保证实数 λ 的存在性和唯一性． [逐点清] 5．(必修 4 第 77 页习题 A 组 3 题改编)如图，D，E，F 分别是△ABC 各边的中点，则 下列结论错误的是( ) A． EF ―→＝ CD―→ B． AB ―→与 DE ―→共线 C． BD―→与 CD―→是相反向量 D． AE ―→＝ 1 2 | AC―→| 解析：选 D 选项 D 中，AE―→＝ 1 2 AC ―→，所以 D 错误． 6．(易错题)对于非零向量 a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 A 若 a＋b＝0，则 a＝－b，所以 a∥b.若 a∥b，则 a＋b＝0 不一定成立．故 前者是后者的充分不必要条件，故选 A． [记结论·提速度] [记结论] 1．若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP ―→＝ 1 2 ( OA ―→＋OB ―→)． 2． OA ―→＝λOB ―→＋μ OC ―→ (λ，μ 为实数)，若点 A，B，C 三点共线，则 λ＋μ＝1. [提速度] 1．在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 EB―→＝( ) A． 3 4 AB ―→－ 1 4 AC―→ B． 1 4 AB ―→－ 3 4 AC―→ C． 3 4 AB ―→＋ 1 4 AC―→ D． 1 4 AB ―→＋ 3 4 AC―→ 解析：
选A如图所示，=D+DB=AD+C-(AB +AC)+(AB - AC) =-I，故选A.42.已知A，B，C是直线1上不同的三个点，点0不在直线1上，则使等式x20A+xOB+BC=0成立的实数x的值为解析：BC=OC-OB，2OA+xOB+OC-OB=0,即OC=-x2OA-(x1)OB，：A，B，C三点共线，.-x-(x-1)=1，即x+x=0，解得x=0或x=-1当x=0时，x0A+x0B+BC=0，此时B，C两点重合，不合题意，舍去.故x=-1答案：-1考点分类突破课堂讲练理解透规律明变化究其本考点一平面向量的有关概念[基础自学过关][题组练透]1.设ao为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a=aao;②若a与a平行，则a=aao；③若a与a平行且a=l，则a=ao，假命题的个数是（A. 0B. 1C. 2D. 3解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与[aao的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与ao平行，则a与ao的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a=-aao，故②③也是假命题，a.b2.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使0成立的是（[al (blA. a=2bB.al/b第5页共70页
第 5 页 共 70 页 选 A 如图所示， EB―→＝ED―→＋DB ―→＝ 1 2 AD―→＋ 1 2 CB ―→＝ 1 2 × 1 2 ( AB ―→＋AC―→)＋ 1 2 ( AB―→－AC―→)＝ 3 4 AB―→－ 1 4 AC ―→，故选 A． 2．已知 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l 上，则使等式 x 2OA ―→＋ xOB ―→＋ BC ―→＝0 成立的实数 x 的值为 ． 解析：∵ BC ―→＝OC ―→－OB ―→，∴x 2 OA ―→＋xOB ―→＋OC ―→－OB ―→＝0，即 OC ―→＝－x 2 OA ―→－(x－ 1) OB ―→，∵A，B，C 三点共线， ∴－x 2－(x－1)＝1，即 x 2＋x＝0，解得 x＝0 或 x＝－1.当 x＝0 时，x 2 OA ―→＋xOB ―→＋BC―→ ＝0，此时 B，C 两点重合，不合题意，舍去．故 x＝－1. 答案：－1 平面向量的有关概念 [基础自学过关] [题组练透] 1．设 a0 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|·a0；②若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|a0；③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0，假命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同， 故①是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向 时 a＝－|a|a0，故②③也是假命题． 2．设 a，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使 a |a| ＋ b |b| ＝0 成立的是( ) A．a＝2b B．a∥b