大小，考向2是求解与函数单调性有关的抽象函数不等式，求解此类问题，主要是利用函数的单调性将“符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用。考向3是在考向1和考向2基础上的更深一步的拓展，根据函数单调性把问题转化为单调区间关系的比较对于求解此类有关函数单调性应用的题目，其通用的方法是利用转化思想解题，其思维流程是第一步一「明确函数在定义域内的单调性找共性A利用函数的单调性，结合题目条件，把要第二步一求问题转化为易处理问题V第三步一求解转化后问题，得出结果[跟踪训练】1.设偶函数f(x)的定义域为R，当xE[0，十0)时，(x)是增函数，则(一2)，()，一3)的大小关系是(）A, (π)>f(-3)>f(-2)B. ()>f(-2)>(-3)D. (元)<f(一2)<f(-3)C. f(元)<f(-3)<f(-2)解析：选A因为(x)是偶函数，所以-3)=(3),(-2)=F(2).又因为函数(x)在[0,+0)上是增函数，所以()>f(3)>f(2)，即()>(-3)>f(-2).故选A.2.已知函数f(x)=lnx+2*，若f(x2—4)<2，则实数x的取值范围是解析：因为函数f(x)=lnx+2"在定义域(0，+c)上单调递增，且f(1)=ln1+2=2,所以由x - 4)<2 得, J(x2 - 4)<(1),所以 0<x2 - 4<1,解得- V5<x< - 2或 2<x<V5答案：(-V5,-2)U(2，N5)考点函数的值域（最值[师生共研过关][例6](1)(2021·渠训调研)函数y=x+1|+-2|的值域为(2)若函数g)=-+b(>0)在,2上的值域为[,2小,则 a=-二，b=第26页共160页
第 26 页 共 160 页 大小． 考向 2 是求解与函数单调性有关的抽象函数不等式．求解此类问题， 主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求 解．此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用． 考向 3 是在考向 1 和考向 2 基础上的更深一步的拓展，根据函数单调 性把问题转化为单调区间关系的比较 找共性 对于求解此类有关函数单调性应用的题目，其通用的方法是利用转化 思想解题，其思维流程是 [跟踪训练] 1．设偶函数 f(x)的定义域为 R，当 x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则 f(－2)，f(π)，f(－ 3)的大小关系是( ) A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3) C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3) 解析：选 A 因为 f(x)是偶函数，所以 f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因为函数 f(x)在[0， ＋∞)上是增函数，所以 f(π)>f(3)>f(2)，即 f(π)>f(－3)>f(－2)．故选 A. 2．已知函数 f(x)＝ln x＋2 x，若 f(x 2－4)＜2，则实数 x 的取值范围是_． 解析：因为函数 f(x)＝ln x＋2 x 在定义域(0，＋∞)上单调递增，且 f(1)＝ln 1＋2＝2，所 以由 f(x 2－4)＜2 得，f(x 2－4)＜f(1)，所以 0＜x 2－4＜1，解得－ 5＜x＜－2 或 2＜x＜ 5. 答案：(－ 5，－2)∪(2， 5) 函数的值域(最值) [师生共研过关] [例 6] (1)(2021·深圳调研)函数 y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为_； (2)若函数 f(x)＝－ a x ＋b(a>0)在 1 2 ，2 上的值域为 1 2 ，2 ，则 a＝_，b＝_
[解析](1)函数y=/-2x+1，x≤-1，3,-1<r<2,2x-1,x≥2作出函数的图象如图所示。根据图象可知，函数y=+1|+x一2]的值域为[3，+)(2)-(x)= -+b(a>0)在2上是增函数2, J(x) max = (2) = 2.:f(x)min = -2a+b=!-号+b=2，解得a=1,b=即225[答案］(1)[3，+)(2)12[解题技法]求函数最值的5种常用方法单调性法先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求最值图象法先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值基本不先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式等式法求出最值先求出导函数，然后求出给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最导数法值对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最换元法值单调性，左边看，上坡递增下坡减；函数值，若有界，上界下界值域外[提醒】(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域；(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值。第27页共160页
第 27 页 共 160 页 [解析] (1)函数 y＝{－2x＋1，x≤－1， 3，－1<x<2， 2x－1，x≥2. 作出函数的图象如图所示． 根据图象可知，函数 y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞)． (2)∵f(x)＝－ a x ＋b(a>0)在 1 2 ，2 上是增函数， ∴f(x)min＝f 1 2 ＝ 1 2 ，f(x)max＝f(2)＝2. 即 －2a＋b＝ 1 2 ， － a 2 ＋b＝2， 解得 a＝1，b＝ 5 2 . [答案] (1)[3，＋∞) (2)1 5 2 [解题技法] 求函数最值的 5 种常用方法 单调性法 先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求最值 图象法 先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值 基本不 等式法 先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式 求出最值 导数法 先求出导函数，然后求出给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最 值 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最 值 [提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域； (2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的 最大值，最小的作为分段函数的最小值．
[跟踪训练]x+4的值域为1.函数(x)x4，当且仅当x=2时取等号；当x<0时，-解析：当x>0时，(x)=xX即(x)=x+-4，当且仅当x=-2取等号，所以函数f(x)的值域为（-0，-4]U[4，+x8).答案：(—80,—4]U[4,+)2.函数y=Vx一x(x≥0)的最大值为解析：令t=Vx，则t≥0,所以y=t-P=-(-)+1,当t=,即x=时，Jmx=)1答案：1-x1+的值域是3.函数y1 - x22解析：因为y11+x21+x222又因为1+x≥1，所以0<≤2所以-1<-1+≤1，所以函数的值域为（-1+xx2 +11,1] .答案：(—1,1)[课时过关检测A级—基础达标1.下列函数在区间(0.1)上为单调递增函数的是(A.y=-x+1B.y=cosxD. y=xC. y=loggxX解析：选DJ=-x3+1，y=cosx，J=logx在(0,1)上都为单调递减函数，y=x-在(0,1)上为单调递增函数.故选D.2.函数y=(2m-1)x十b在R上是减函数，则(0第28页共160页
第 28 页 共 160 页 [跟踪训练] 1．函数 f(x)＝ x 2＋4 x 的值域为_． 解析：当 x>0 时，f(x)＝x＋ 4 x ≥4，当且仅当 x＝2 时取等号；当 x<0 时，－x＋ － 4 x ≥4， 即 f(x)＝x＋ 4 x ≤－4，当且仅当 x＝－2 取等号，所以函数 f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋ ∞)． 答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞) 2．函数 y＝ x－x(x≥0)的最大值为_． 解析：令 t＝ x，则 t≥0，所以 y＝t－t 2＝－ t－ 1 2 2＋ 1 4 ，当 t＝ 1 2 ，即 x＝ 1 4 时，ymax＝ 1 4 . 答案：1 4 3．函数 y＝ 1－x 2 1＋x 2的值域是_． 解析：因为 y＝ 1－x 2 1＋x 2＝－1＋ 2 1＋x 2， 又因为 1＋x 2≥1，所以 0< 2 1＋x 2 ≤2，所以－1<－1＋ 2 x 2＋1 ≤1，所以函数的值域为(－ 1,1]． 答案：(－1,1] [课时过关检测] A 级——基础达标 1．下列函数在区间(0,1)上为单调递增函数的是( ) A．y＝－x 3＋1 B．y＝cos x C．y＝log 1 2 x D．y＝x－ 1 x 解析：选 D y＝－x 3＋1，y＝cos x，y＝log 1 2 x 在(0,1)上都为单调递减函数，y＝x－ 1 x 在 (0,1)上为单调递增函数．故选 D. 2．函数 y＝(2m－1)x＋b 在 R 上是减函数，则( )
1A. m>B. m2211C. m>-D. mK-22解析：选B使y=(2m-1)x+b在R上是减函数，则2m-1<0，即m23.设函数x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(1在R上为减函数A. =B. y=I(x)/在 R 上为增函数1=一)在 R 上为增函数C. y=D.y=-f(x)在 R上为减函数11解析：选D设(x)=x，则y=的定义域为（-80，0)U(0，+80），在定义域上)1的定义域无单调性，A错误；则y=Ix)=α/在R上无单调性，B错误；则y=-=-为（-0,0)U(0，+），在定义域上无单调性，C错误;y=-f(x)=-x在R上为减函数，所以选项D正确.2x4.函数y=xE(m,m的最小值为0, 则 m的取值范围是(1A, (1,2)B. (-1,2)C. [1,2)D. [-1,2)2-x 3-x-13解析：选D函数y=1x+1x+1x+1且在xE（-1，+）时单调递减，在x=2时，y=0根据题意xE（m，n）时y的最小值为0，所以-1≤m<2.故选D5.（多选)已知(x)是定义在[0，+c0)上的函数，根据下列条件，可以判断,(x)是增函数的是(）A.对任意x≥0，都有(x+1)>(x)B.对任意x1，X2E[0，十0)，且x≥x2，都有f(xl)≥f(x2)C。对任意x1，x2E[0，+)，且x1—x2<0，都有(xi)-(x2)<0第29页共160页
第 29 页 共 160 页 A．m> 1 2 B．m< 1 2 C．m>－ 1 2 D．m<－ 1 2 解析：选 B 使 y＝(2m－1)x＋b 在 R 上是减函数，则 2m－1<0，即 m< 1 2 . 3．设函数 f(x)在 R 上为增函数，则下列结论一定正确的是( ) A．y＝ 1 f(x) 在 R 上为减函数 B．y＝|f(x)|在 R 上为增函数 C．y＝－ 1 f(x) 在 R 上为增函数 D．y＝－f(x)在 R 上为减函数 解析：选 D 设 f(x)＝x，则 y＝ 1 f(x) ＝ 1 x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上 无单调性，A 错误；则 y＝|f(x)|＝|x|在 R 上无单调性，B 错误；则 y＝－ 1 f(x) ＝－ 1 x 的定义域 为 (－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性，C 错误；y＝－f(x)＝－x 在 R 上为减函数，所 以选项 D 正确． 4．函数 y＝ 2－x x＋1 ，x∈(m，n]的最小值为 0，则 m 的取值范围是( ) A．(1,2) B．(－1,2) C．[1,2) D．[－1,2) 解析：选 D 函数 y＝ 2－x x＋1 ＝ 3－x－1 x＋1 ＝ 3 x＋1 －1， 且在 x∈(－1，＋∞)时单调递减，在 x＝2 时，y＝0； 根据题意 x∈(m，n]时 y 的最小值为 0， 所以－1≤m<2.故选 D. 5．(多选)已知 f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以判断 f(x)是增函数 的是( ) A．对任意 x≥0，都有 f(x＋1)＞f(x) B．对任意 x1，x2∈[0，＋∞)，且 x1≥x2，都有 f(x1)≥f(x2) C．对任意 x1，x2∈[0，＋∞)，且 x1－x2＜0，都有 f(x1)－f(x2)＜0
D. 对任意 x1, xzE[0, + 0), 且 x1x, 都有()二()>0X1X2解析：选CD根据题意，依次分析选项：对于A项，对任意x≥0，都有x+1)>()，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于B项，当,(x)为常数函数时，对任意x1，x2E[0，+0），都有(x1)=f(x2)，不是增函数，不符合题意；对于C项，对任意x1，X2E[0，+0),且x12<0，都有(x)-(x2)<0,符合题意；对于D项，对任意x1,X2E[0，+0)，(xi) -(x2)>0，必有f(x1)-f(x2)>0，则函数在[0，+)上为增函数，符合题设x>x2，若XI-X2意.故选C、D.6.(多选)若函数f(x)满足条件：①对于定义域内任意不相等的实数a,b恒有>二)>>0ab(+)x)+(成成立②对于定义域内任意x1，x都有(2则称函数f(x)为 G函数。下列函数为 G函数的是(A f(x)=3x+1B. J(x)=-2x—1C. f(x)=x-2x+3D. f(x)=-x2+4x-3, xE(-00, 1)解析：选AD由条件①知函数f(x)在定义域内为增函数，由条件②知函数f(x)为“凸(x) +(x2)(x1i +x2函数”，A项中，J(x)=3x+1在R上为增函数，且八，故满足条件①22③；B项中，J(x)=-2x-1在R上为减函数，不满足条件①；C项中，(x)=x2-2x+3在（-°，1)上为减函数，在(1，+)为增函数，不满足条件;D项中，J(x)=-x+4x-3的对称轴为x=2，故函数(x)=-x+4x-3在（-c°，1)上为增函数，且为“凸函数”，故满足条件①②.故选A、D.(拉的最大值为7. 函数(x)=[-x2+2, x<]解析：当x≥1时，函数(x)=→为减函数,所以(x)在x=1处取得最大值,为(1)=1;当x<1时，易知函数(x)=-x+2在x=0处取得最大值，为f(0)=2.故函数(x)的最大值第30页共160页
第 30 页 共 160 页 D．对任意 x1，x2∈[0，＋∞)，且 x1≠x2，都有f(x1)－f(x2) x1－x2 ＞0 解析：选 CD 根据题意，依次分析选项：对于 A 项，对任意 x≥0，都有 f(x＋1)＞f(x)， 不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于 B 项，当 f(x)为常数函数时，对任意 x1，x2∈ [0，＋∞)，都有 f(x1)＝f(x2)，不是增函数，不符合题意；对于 C 项，对任意 x1，x2∈[0，＋ ∞)，且 x1－x2＜0，都有 f(x1)－f(x2)＜0，符合题意；对于 D 项，对任意 x1，x2∈[0，＋∞)， 设 x1＞x2，若 f(x1)－f(x2) x1－x2 ＞0，必有 f(x1)－f(x2)＞0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题 意．故选 C、D. 6．(多选)若函数 f(x)满足条件： ①对于定义域内任意不相等的实数 a，b 恒有f(a)－f(b) a－b ＞0； ②对于定义域内任意 x1，x2 都有 f x1＋x2 2 ≥ f(x1)＋f(x2) 2 成立． 则称函数 f(x)为 G 函数．下列函数为 G 函数的是( ) A．f(x)＝3x＋1 B．f(x)＝－2x－1 C．f(x)＝x 2－2x＋3 D．f(x)＝－x 2＋4x－3，x∈(－∞，1) 解析：选 AD 由条件①知函数 f(x)在定义域内为增函数，由条件②知函数 f(x)为“凸 函数”．A 项中，f(x)＝3x＋1 在 R 上为增函数，且 f x1＋x2 2 ＝ f(x1)＋f(x2) 2 ，故满足条件① ②；B 项中，f(x)＝－2x－1 在 R 上为减函数，不满足条件①；C 项中，f(x)＝x 2－2x＋3 在 (－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)为增函数，不满足条件①；D 项中，f(x)＝－x 2＋4x－3 的 对称轴为 x＝2，故函数 f(x)＝－x 2＋4x－3 在(－∞，1)上为增函数，且为“凸函数”，故满 足条件①②.故选 A、D. 7．函数 f(x)＝ 1 x ，x≥1， －x 2＋2，x<1 的最大值为_． 解析：当 x≥1 时，函数 f(x)＝ 1 x 为减函数，所以 f(x)在 x＝1 处取得最大值，为 f(1)＝1； 当 x<1 时，易知函数 f(x)＝－x 2＋2 在 x＝0 处取得最大值，为 f(0)＝2.故函数 f(x)的最大值