第三章导数及其应用第一节导数的概念及运算[备考领航]核心素养课程标准解读关联考点1.通过对实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵，1.导数的运1.数学运算，2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义算.2.导数的几何3.能根据导数定义，求函数y=c，y=x，y=x2，y=一的2.数学抽象意义导数，会使用导数公式表4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数知识逐点夯实重点准点清结论要牢记课前自修[重点准·逐点清]重点一导数的基本概念Ay1. 函数 y=(x)在x=x0 处的导数：函数 y=(x)在x=xb处的瞬时变化率[im 岁=lm+-为函数=i)在×= 处的导数，记作『(m)或Arxo+A)(x))x=x0，即(xo)=m=！=lim1Ax[提醒】"(xo)代表函数(x)在x=xo处的导数值；(f(xo)”是函数值f(xo)的导数，而函数值f(xo)是一个常量，其导数一定为0，即(f(xo))=0.2．导数的几何意义函数(x)在点xo处的导数"(xo)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0，m)处的切线的第1页共91页
第 1 页 共 91 页 第三章 导数及其应用 第一节 导数的概念及运算 [备考领航] 课程标准解读 关联考点 核心素养 1.通过对实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变 化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化 率就是导数，体会导数的思想及其内涵． 2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义，求函数 y＝c，y＝x，y＝x 2，y＝ 1 x 的 导数，会使用导数公式表． 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则 运算法则求简单函数的导数 1.导数的运 算． 2.导数的几何 意义 1.数学运算． 2.数学抽象 [重点准·逐点清] 重点一 导数的基本概念 1．函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数：函数 y＝f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0 Δy Δx ＝ limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx 为函数 y ＝ f(x) 在 x ＝ x0 处的导数，记作 f′(x0) 或 y′ x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0 Δy Δx ＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx .)) [提醒] f′(x0)代表函数 f(x)在 x＝x0 处的导数值；(f(x0))′是函数值 f(x0)的导数，而函 数值 f(x0)是一个常量，其导数一定为 0，即(f(x0))′＝0. 2．导数的几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点 P(x0，y0)处的切线的
斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数）.相应地，切线方程为y二yo=f（xo)(x-x0)[提醒］求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者。3.函数(x)的导函数(x+A)-)为(x)的导函数，称函数了 (x)=-Ax[逐点清]1.(2020·全国您I)函数f(x)=x一2x的图象在点(1，(1))处的切线方程为(（)A. y=-2x-1B. y=-2x+1C.y=2x-3D. y=2x+1解析：选B法—：(x)=x4-2x，F()=4x3-6x2，F(1)=-2,又f(1)=1-2=-1，：所求的切线方程为y+1=-2(x-1)，即y=-2x+1.故选B.法二：(x)=x4-2x3，F(x)=4x3-6x2,(1)=-2，切线的斜率为-2，排除CD.又f(1)=1-2=-1，：切线过点(1，-1)，排除A.故选B.2.(选修2-2第10页A组2题改编)在高台跳水运动中，Is时运动员相对于水面的高度（单位：m)是h(t)=一4.9t十6.5t+10，则运动员的速度=_m/s，加速度a=m/s2.解析：0=h)=-9.8t+6.5,a=v(t)=-9.8答案：—9.8t+6.5—9.83.(错题)函数(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为，在x=2处的导数为22-12解析：函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为=3.因为f(x)=2x，所以f网)2-在x=2处的导数为2×2=4.答案：34重点二导数公式及运算法则1.几种常见函数的导数(1)(O)"=0(C为常数);(2)(x")"=nx"二(nEQ);(3)(sinx)"=cosx;(4)(cosx)"=二血; (5(e) =;(n) =lna(0, *) ()(n) -+ (8)(og,) =-(c0,第2页共91页
第 2 页 共 91 页 斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)．相应地，切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－ x0)． [提醒] 求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过点 P 的切线的区别，前者只有一 条，而后者包括了前者． 3．函数 f(x)的导函数 称函数 f′(x)＝limΔx→0 f(x＋Δx)－f(x) Δ x 为 f(x)的导函数． [逐点清] 1．(2020·全国卷Ⅰ)函数 f(x)＝x 4－2x 3 的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( ) A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1 解析：选 B 法一：∵f(x)＝x 4－2x 3，∴f′(x)＝4x 3－6x 2，∴f′(1)＝－2，又 f(1)＝1－2 ＝－1，∴所求的切线方程为 y＋1＝－2(x－1)，即 y＝－2x＋1.故选 B. 法二：∵f(x)＝x 4－2x 3，∴f′(x)＝4x 3－6x 2，f′(1)＝－2，∴切线的斜率为－2，排除 C、 D.又 f(1)＝1－2＝－1，∴切线过点(1，－1)，排除 A．故选 B. 2．(选修 2－2 第 10 页 A 组 2 题改编)在高台跳水运动中，ts 时运动员相对于水面的高 度(单位：m)是 h(t)＝－4.9t 2＋6.5t＋10，则运动员的速度 v＝ m/s，加速度 a＝ m/s 2 . 解析：v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8. 答案：－9.8t＋6.5 －9.8 3．(易错题)函数 f(x)＝x 2 在区间[1,2]上的平均变化率为 ，在 x＝2 处的导数 为 ． 解析：函数 f(x)＝x 2 在区间[1,2]上的平均变化率为 2 2－1 2 2－1 ＝3.因为 f′(x)＝2x，所以 f(x) 在 x＝2 处的导数为 2×2＝4. 答案：3 4 重点二 导数公式及运算法则 1．几种常见函数的导数 (1)(C)′＝0(C 为常数)；(2)(x n )′＝nxn－1 (n∈Q* )；(3)(sin x)′＝cos x；(4)(cos x)′＝－ sin x；(5)(ex )′＝e x；(6)(a x )′＝a x ln a(a>0，a≠1)；(7)(ln x)′＝ 1 x ；(8)(logax)′＝ 1 xln a (a>0
a±1).2.导数的四则运算法则(1)[u(x)+v(x)]" =u (x)±0" (x);(2)[u(x)v(x)]=u*(x)0(x)+u(x)0(x);[u(]_u' ()-u(0 ()(0(x)±0)(3)元][u(x)]?3.复合函数的导数复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yr=yuu即对x的导数等于对u的导数与u对x的导数的乘积[逐点清]4.（易错题）下列求导运算正确的是（）A=xB. (x'e)' =2x+erD. ()=1+1C. (xcosx)' =-sinx==解析：选D对于A:(对于 B : (xe)~ =(x2 + 2x)e*.对于C：(xcosx)=cosx-xsinx=1+1对于D4-2则a=5. (2020·金国意M)设函数)=-,若} (1)-4e'(x+a) - erea，解得a=1解析：由于F(x)=，故(1)=(x+a)2(1+a)24答案：1【记结论·提速度][记结论]1。奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数。周期函数的导数还是周期函数。2.函数yfx)的导数f()反映了函数x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小/（x)反映了变化的快慢，IF(x)越大，曲线在这点处的切线越“陡”[提速度]1：已知函数x)的图象如图，f(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(第3页共91页
第 3 页 共 91 页 a≠1)． 2．导数的四则运算法则 (1)[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)； (2)[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)； (3) u(x) v(x) ′＝ u′(x)v(x)－u(x)v′(x) [v(x)] 2 (v(x)≠0)． 3．复合函数的导数 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′， 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积． [逐点清] 4．(易错题)下列求导运算正确的是( ) A． 1 ln x ′＝x B．(x 2 e x )′＝2x＋e x C．(xcos x)′＝－sin x D． x－ 1 x ′＝1＋ 1 x 2 解析：选 D 对于 A： 1 ln x ′＝－ 1 ln2x ·(ln x)′＝－ 1 xln2x . 对于 B：(x 2 e x )′＝(x 2＋2x)ex . 对于 C：(xcos x)′＝cos x－xsin x. 对于 D： x－ 1 x ′＝1＋ 1 x 2 . 5．(2020·全国卷Ⅲ)设函数 f(x)＝ e x x＋a .若 f′(1)＝ e 4 ，则 a＝ . 解析：由于 f′(x)＝ e x (x＋a)－e x (x＋a) 2 ，故 f′(1)＝ ea (1＋a) 2＝ e 4 ，解得 a＝1. 答案：1 [记结论·提速度] [记结论] 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． 2．函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的 方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． [提速度] 1．已知函数 f(x)的图象如图，f′(x)是 f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A. 0<f (2)<f (3)<f(3)-(2)B. 0<f (3)<f (2)<(3)-(2)C. 0<f (3)<f(3)-f(2)<f (2)D. 0<f(3)-f(2)<f (2)<f (3)(3) - (2),表示过点(2J(2)),(3(3)连线的斜率(2)，解析：选C(3）-(2)可写为3-2F(3)分别表示曲线(x)在点(2J(2))，(3，J(3)处切线的斜率，设过点(2,(2)，(3,(3)的直线为m，曲线在点(2，(2)），(3，J(3)处的切线分别为l，n，画出它们的图象，如图，013由图可知0<k<km<k，故0< (3)<(3) -(2)<F (2) .2.若函数x)=ax4十bx2十c满足F(1)=2，则F（一1)=解析：(g)=4ax3+2bx"(x)为奇函数，又F(1)=2，.f (-1)= -f (1)= - 2.答案：-2考点分类突破理解透规律明变化究其本课堂讲练考点—导数的运算[基础自学过关][题组练透]1.函数y=xcosx一sinx的导数为(A. xsinxB. -xsinxC.xcosxD.-xcosx解析：选By=x'cosx+x(cosx)'-(sinx)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.第4页共91页
第 4 页 共 91 页 A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2) B．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2) C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2) D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3) 解析：选 C f(3)－f(2)可写为 f(3)－f(2) 3－2 ，表示过点(2，f(2))，(3，f(3))连线的斜率，f′(2)， f′(3)分别表示曲线 f(x)在点(2，f(2))，(3，f(3))处切线的斜率，设过点(2，f(2))，(3，f(3))的 直线为 m，曲线在点(2，f(2))，(3，f(3))处的切线分别为 l，n，画出它们的图象，如图， 由图可知 0＜kn＜km＜kl， 故 0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)． 2．若函数 f(x)＝ax4＋bx2＋c 满足 f′(1)＝2，则 f′(－1)＝ . 解析：∵f′(x)＝4ax3＋2bx∴f′(x)为奇函数，又∵f′(1)＝2， ∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2. 答案：－2 导数的运算 [基础自学过关] [题组练透] 1．函数 y＝xcos x－sin x 的导数为( ) A．xsin x B．－xsin x C．xcos x D．－xcos x 解析：选 B y′＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x
2.J(x)=x(2021+lnx)，若"(xo)=2022，则xo等于(A. e?B. 1C.In2D. e=2022+nx，又f(xo)=2022，得2022+lm解析：选Bf(x)=2021+nx+xxXo=2022，则1nxo=0，解得xo=1.3.(2021-广州市阶段训练)已知函数 f(x)的导函数为F(x)，记fi(x)= (x)，2(g)=F i(x), , fn+1(x)=fn(x)(nEN), 若 (x)=xsin x, 则 f2019(g)+f2021(x)=(A.-2cosxB.-2sinxC.2cosxD.2sinx解析：选D由题意，f(x)=xsinx,fi(x)=f(x)=sinx+xcosxfa(x)=f"1(x)=cosx+ cosx -xsin x=2cosx-xsinx,f(x)=f 2()= -3sinx -xcosx,f(x)=f' 3(g)= - 4cosx+xsinx,fs(x)=f4(x)=5sinx+xcosx，，据此可知f2019(x)=-2019sinx-xcosx，f021(x)=2021sinx+xcosx，所以f2019(x)+f2021(g)=2sinx，故选D.4.求下列函数的导数，1(1)y=Inx+fx:cos(2)y=erx+2x-xlnx-1(3)f(x)=x2(nx+) =(nx)" +(解：(1)yrr(cos x)' et - cos x(e)'(2)yl(e)sin x+ cos xe+2.1(3)由已知(x)=x-lnx+xx2所以 ()=1.1.2+23x-x-2x+2x[练后悟通]第5页共91页
第 5 页 共 91 页 2．f(x)＝x(2 021＋ln x)，若 f′(x0)＝2 022，则 x0 等于( ) A．e 2 B．1 C．ln 2 D．e 解析：选 B f′(x)＝2 021＋ln x＋x× 1 x ＝2 022＋ln x，又 f′(x0)＝2 022，得 2 022＋ln x0＝2 022，则 ln x0＝0，解得 x0＝1. 3．(2021·广州市阶段训练)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，记 f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝ f′1(x)，.，fn＋1(x)＝f′n(x)(n∈N* )，若 f(x)＝xsin x，则 f2 019(x)＋f2 021(x)＝( ) A．－2cos x B．－2sin x C．2cos x D．2sin x 解析：选 D 由题意，f(x)＝xsin x，f1(x)＝f′(x)＝sin x＋xcos x，f2(x)＝f′1(x)＝cos x ＋cos x－xsin x＝2cos x－xsin x，f3(x)＝f′2(x)＝－3sin x－xcos x，f4(x)＝f′3(x)＝－4cos x ＋xsin x，f5(x)＝f′4(x)＝5sin x＋xcos x，.，据此可知 f2 019(x)＝－2 019sin x－xcos x，f2 021(x)＝2 021sin x＋xcos x，所以 f2019(x)＋f2 021(x)＝2sin x，故选 D. 4．求下列函数的导数． (1)y＝ln x＋ 1 x ； (2)y＝ cos x e x ； (3)f(x)＝ x 3＋2x－x 2 ln x－1 x 2 . 解：(1)y′＝ ln x＋ 1 x ′＝(ln x)′＋ 1 x ′＝ 1 x － 1 x 2 . (2)y′＝ cos x e x ′＝ (cos x)′e x－cos x(e x )′ (e x ) 2 ＝－ sin x＋cos x e x . (3)由已知 f(x)＝x－ln x＋ 2 x － 1 x 2 . 所以 f′(x)＝1－ 1 x － 2 x 2＋ 2 x 3 ＝ x 3－x 2－2x＋2 x 3 . [练后悟通]