第二章函数第一节函数及其表示[备考领航]课程标准解读关联考点核心素养1.通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.1.求函数的定义域.1.数学抽象.2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义2．求函数的解析2.数学运算，域和值域.式.3.直观想象3.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列3.分段函数表法、解析法)表示函数，4.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用知识逐点实重点准逐点清结论要牢记课前自修【重点准·逐点清]重点一函数的有关概念1.函数的概念函数两集合A，BA，B是两个非空数集对应关系如果按照某种确定的对应关系J，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数,(x)与之对应f: A→B名称称LA→B为从集合A到集合B的一个函数记法y=(x),xEA2.函数的定义域、值域(1)函数y=f(x)直变量取值的范围A叫做函数的定义域；函数值的集合ifx)xEA叫做函数的值域；(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法。【提醒】（1)在定义中，集合B不一定是函数的值域，它包含了函数的值域，即值域是集第1页共160页
第 1 页 共 160 页 第二章 函 数 第一节 函数及其表示 [备考领航] 课程标准解读 关联考点 核心素养 1.通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖 关系的重要数学模型，学习用集合与对应的语言来 刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作 用． 2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义 域和值域． 3．会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列 表法、解析法)表示函数． 4．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单 应用 1.求函数的定义域． 2．求函数的解析 式． 3．分段函数 1.数学抽象． 2．数学运算． 3．直观想象 [重点准·逐点清] 重点一 函数的有关概念 1．函数的概念 函数 两集合 A，B A，B 是两个非空数集 对应关系 f：A→B 如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x， 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)与之对应 名称 称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 2．函数的定义域、值域 (1)函数 y＝f(x)自变量取值的范围 A 叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做 函数的值域； (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． [提醒] (1)在定义中，集合 B 不一定是函数的值域，它包含了函数的值域，即值域是集
合B的子集；(2)若两函数的定义域与对应关系相同，则两函数相同；(3）若两函数的值域与对应关系相同，则两函数不一定相同，如：y=x(x≥0)与y=x[逐点清]1.（必修1第17页例1改编）已知x)=x+3+x+，若(2)=0，则 α的值为解析：因为J(x)=x+3+1,所以(-2)=-2+3+-=0，解得a=12+ax+a答案：12.（易错题)已知集合P=(x|0≤x≤4)，Q=(l0≤y≤2)，下列从P到Q的各对应关系F不是函数的是：(填序号)1Of: x-y-++ @ x-y-+2@f: -y-+: @: x-y=h.2.0解析：对于，因为当x=4时，J=Q，所以③不是函数X4=-答案：③=x2+5x，则(x)=3. (显错题)已知/(+0),即=++*,1.则x=解析：令t=15x + 1: f(x) =*0).5x+1答案：x2 (x*0)重点二分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.【提醒】分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。[逐点清]4.(必修1第25页B组1题改编)函数y=(x)的图象如图所示，那么，J(x)的定义域是；值域是；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是第2页共160页
第 2 页 共 160 页 合 B 的子集； (2)若两函数的定义域与对应关系相同，则两函数相同； (3)若两函数的值域与对应关系相同，则两函数不一定相同，如：y＝x 2 (x≥0)与 y＝x 2 . [逐点清] 1．(必修 1 第 17 页例 1 改编)已知 f(x)＝ x＋3＋ 1 x＋a ，若 f(－2)＝0，则 a 的值为 _． 解析：因为 f(x)＝ x＋3＋ 1 x＋a ，所以 f(－2)＝ －2＋3＋ 1 －2＋a ＝0，解得 a＝1. 答案：1 2．(易错题)已知集合 P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从 P 到 Q 的各对应关系 f 不是函数的是_．(填序号) ①f：x→y＝ 1 2 x；②f：x→y＝ 1 3 x； ③f：x→y＝ 2 3 x；④f：x→y＝ x. 解析：对于③，因为当 x＝4 时，y＝ 2 3 ×4＝ 8 3 ∉Q，所以③不是函数． 答案：③ 3．(易错题)已知 f 1 x ＝x 2＋5x，则 f(x)＝_. 解析：令 t＝ 1 x ，则 x＝ 1 t (t≠0)，即 f(t)＝ 1 t 2＋ 5 t ， ∴f(x)＝ 5x＋1 x 2 (x≠0)． 答案：5x＋1 x 2 (x≠0) 重点二 分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函 数通常叫做分段函数． [提醒] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并 集，值域是各段值域的并集． [逐点清] 4．(必修 1 第 25 页 B 组 1 题改编)函数 y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是 _；值域是_；其中只有唯一的 x 值与之对应的 y 值的范围是_．
答案：[3,0]U[2,3][1,5][1,2)U(4,5]Nk, x≥0,5. (易错题)设函数f(x)若f(a)+f(一1)=2，则a=IV=x, x<0,解析：若a≥0，则Va+1=2，得a=1;若a<0，则-a+1=2，得a=-1故a=±1.答案：±1[记结论提速度][记结论]1.直线xa(a是常数）与函数y=fx）的图象有0个或1个交点。2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致。[提速度]1.若函数y=fx)的定义域为M=(/-2≤x≤2)，值域为N=(u0≤y≤2)，则函数=(x)的图象可能是(1213+3ty2口02x-202元02xBDC解析：选BA中函数定义域不是[-2,2]；C中图象不表示函数：D中函数值域不是[0,2] .2.(必修1第18贡例2改编)下列函数中，与函数y=x十1是相等函数的是(B. y=派+1A. y=(Vx+1)2D. J=+1C. y+1x解析：选B对于A，函数y=(Vx+1)的定义域为(xx≥-1)，与函数y=x+1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数x2+1的定义域为(xx≠0)，与函数y=x+1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定V-x第3页共160页
第 3 页 共 160 页 答案：[－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 5．(易错题)设函数 f(x)＝ x，x≥0， －x，x<0， 若 f(a)＋f(－1)＝2，则 a＝_. 解析：若 a≥0，则 a＋1＝2，得 a＝1； 若 a<0，则 －a＋1＝2，得 a＝－1. 故 a＝±1. 答案：±1 [记结论·提速度] [记结论] 1．直线 x＝a(a 是常数)与函数 y＝f(x)的图象有 0 个或 1 个交点． 2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致． [提速度] 1．若函数 y＝f(x)的定义域为 M＝{x|－2≤x≤2}，值域为 N＝{y|0≤y≤2}，则函数 y＝ f(x)的图象可能是( ) 解析：选 B A 中函数定义域不是[－2,2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是 [0,2]． 2．(必修 1 第 18 页例 2 改编)下列函数中，与函数 y＝x＋1 是相等函数的是( ) A．y＝( x＋1) 2 B．y＝ 3 x 3＋1 C．y＝ x 2 x ＋1 D．y＝ x 2＋1 解析：选 B 对于 A，函数 y＝( x＋1) 2 的定义域为{x|x≥－1}，与函数 y＝x＋1 的定 义域不同，不是相等函数；对于 B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于 C，函数 y＝ x 2 x ＋1 的定义域为{x|x≠0}，与函数 y＝x＋1 的定义域不同，不是相等函数；对于 D，定
义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.考点分类突破理解透规律明变化究其本课堂讲练考点一求函数的定义域[定向精析突破]考向1已知函数解析式求定义域1[例 1] (2021·济南历城四中月考)函数,(x)+2x的定义域为(Ig(x+ 1)A, [2,2]B. [-2,0)U (0,2]C. (-1,0)U(0,2)D. (-1,2)x+1>0 ,[解析]要使(x)：2-x有意义则Ig(x+1)0，得xE(-1,0)U(0,2)Ig(x+1)[2-x≥0,[答案] C[解题技法]常见函数定义域的类型(1)分式型亢)要满足(a)±0(2)根式型"/F(a)(neN")要满足f(s)≥0(3)幂函数型［()°要满足f(x)±0(4)对数型1ogaf(x)(a>0,且a1)要满足f(s)>0(5)正切型tan[(x)】要满足f(x）翌+k元，Z考向2求抽象函数的定义域)+(x-1)的定义域为([例 2] 已知函数(x)的定义域为(-1,1),则函数 g(x)=B. (-2,2)A. (-2,0)D. (-i, 0)C. (0,2)X-2<X<2,<1[解析] 由题意得.10<<2- 1<x - <1 ,:.0K<2,第4页共160页
第 4 页 共 160 页 义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．故选 B. 求函数的定义域 [定向精析突破] 考向 1 已知函数解析式求定义域 [例 1] (2021·济南历城四中月考)函数 f(x)＝ 1 lg(x＋1) ＋ 2－x的定义域为( ) A．[－2,2] B．[－2,0)∪(0,2] C．(－1,0)∪(0,2] D．(－1,2] [解析] 要使f(x)＝ 1 lg(x＋1) ＋ 2－x有意义，则 x＋1>0， lg(x＋1)≠0， 2－x≥0， 得x∈(－1,0)∪(0,2]． [答案] C [解题技法] 常见函数定义域的类型 考向 2 求抽象函数的定义域 [例 2] 已知函数 f(x)的定义域为(－1,1)，则函数 g(x)＝f x 2 ＋f(x－1)的定义域为( ) A．(－2,0) B．(－2,2) C．(0,2) D． － 1 2 ，0 [解析] 由题意得 －1< x 2 <1， －1<x－1<1， ∴ －2<x<2， 0<x<2， ∴0<x<2
.函数 g(x) =+f(x-1)的定义域为(0,2).[答案]C[解题技法]求抽象函数定义域的方法(2)已知复合函数[g(x)）（1)已知函数f(s）的定义的定义域为[a,b],求函域为[a,b]，求复合函数数(x）的定义域fLg(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b解得求出y=g(x)(xE[a,b)x，则x的取值范图即为复的值域，即为函数f(x)合函数g(x)】的定义域的定义域定义域，是何意，自变量，有意义；分式分母不为零，对数真数只取正；偶次根式要非负，三者结合生万物：和差积商定义域，不等式组求交集；抽象函数定义域，对应法则内相同，考向3已知函数的定义域求参数的值（范围）mx-1[例3] (1)若函数y的定义域为R，则实数m的取值范围是(mx2+4mx+3A(o. B.(o, 2)cbo. 130,D.(2)若函数f(x)=a2+abx+b的定义域为(x|1≤x≤2)，则a+b的值为mx - 1[解析】（1)：函数y=的定义域为R，mx?+4mx +3.mx2+4mx+3±0，m0,..m=0或4=16m2-12m<03即m=0或0<m4：.实数m的取值范围是0(2):函数 f(x)=ax2 +abx+b的定义域为(x1≤x≤2),第5页共160页
第 5 页 共 160 页 ∴函数 g(x)＝f x 2 ＋f(x－1)的定义域为(0,2)． [答案] C [解题技法] 求抽象函数定义域的方法 考向 3 已知函数的定义域求参数的值(范围) [例 3] (1)若函数 y＝ mx－1 mx2＋4mx＋3 的定义域为 R，则实数 m 的取值范围是( ) A. 0， 3 4 B. 0， 3 4 C. 0， 3 4 D． 0， 3 4 (2)若函数 f(x)＝ ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则 a＋b 的值为_． [解析] (1)∵函数 y＝ mx－1 mx2＋4mx＋3 的定义域为 R， ∴mx2＋4mx＋3≠0， ∴m＝0 或 m≠0， Δ＝16m2－12m<0， 即 m＝0 或 0<m< 3 4 ， ∴实数 m 的取值范围是 0， 3 4 . (2)∵函数 f(x)＝ ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}