s5．变换群5.1引言5.2变换群5.3Cayley定理
§５．变换群 • 5.1 引言 • 5.2 变换群 • 5.3 Cayley 定理
5.1引言集合A到A自己的映射称为变换变换是一个特殊的映射,所以关于映射的知识全部适用于变换,比如单、满变换、一一变换,变换的乘法(合成)关于记号：设f是A上变换.仍然使用f : a→a=f(a)对于本书规定的变换的一种特殊的符号！f:a→a=af不采用
5.1 引言 ⚫集合 到 自己的映射称为变换． 变换是一个特殊的映射,所以关于映射的知识全部 适用于变换,比如单、满变换、一一变换,变换的乘 法(合成) A A ⚫关于记号: 设 是 上变换,仍然使用 ： 对于本书规定的变换的一种特殊的符号: ： 不采用. f A f ' a a f a → = ( ) f ' f a a a → =
两种记号有什么区别？A有n个元素，A上的变换有多少个？一一变换有多少个？●记A4=(flf是上的变换),对照群的定义,回答它构成群吗？如果不，附加什么条件？
两种记号有什么区别? ⚫ 有n个元素, 上的变换有多少个? 一一变换有 多少个? ⚫记 ,对照群的定义,回答它构 成群吗? 如果不,附加什么条件? A A { A A f f = 是上的变换}
5.2变换群定理1生全体一一变换关于映射的乘法构成群举一个例子说明一些问题例1A=（1，2}.11,2>1TI:T2:12, 22T3:1→122→2T4:1→2,2→1是 A的所有的变换．其中 t3，T4是一一变换(1)，)构成群(2),}构成群吗？
5.2 变换群 定理1 A 上全体一一变换关于映射的乘法构成群. 举一个例子说明一些问题 例１ ＝｛１，２｝． ： ， ： ， ： ， ： ， 是 的所有的变换．其中 ， 是一一变换． (1){ ， }构成群 (2){ }构成群吗? A 1 1 1 → 2 1 → 2 1 2 → 2 2 → 3 1 1 → 2 2 → 4 1 2 → 2 1 → A 3 4 3 4 1
定义一个集合 A的若干个一一变换对于乘法作成的一个群叫做A的一个变换群按照定义,上面的t,}虽然是群,但不是A的变换群【T3，T4]和T,}都是A的变换群定理2假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换ε．若是对于上述乘法来说G作成一个群，那么G只包含A的一一变换,因而是A的变换群
定义 一个集合 的若干个一一变换对于乘法作成 的一个群叫做 的一个变换群． A A 按照定义,上面的{ }虽然是群,但不是 的变换群. { ， }和{ }都是 的变换群 1 A 3 4 3 A 定理2 假定 是集合 的若干个变换所作成的集 合，并且 包含恒等变换 ．若是对于上述乘法来 说 作成一个群，那么 只包含 的一一变换,因 而是 的变换群． G A G G G A A