第九章计数原理与概率、随机变及其分布第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理[备考领航]课程标准解读关联考点核心素养1.分类加法计数原理通过实例，了解分类加法计1.数学建模.2.分步乘法计数原理.数原理、分步乘法计数原理2.数学运算3.两个计数原理的综合应用及其意义3.数学抽象知识逐点夯实重点准逐点清结论要牢记课前自修[重点准·逐点清]重点两个计数原理1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m十n种不同的方法，[提醒】（1每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事；(2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的，2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=mXn种不同的方法，[提醒】（1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事；(2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏，[逐点清]1.（选修2-3第12页A组5(2)题改编)设集合A=(1,3,5,7,9)，B=(2,4,6,8)，aEA，bEB，则直线ax+by=2021有条（)第1页共120页
第 1 页 共 120 页 第九章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 [备考领航] 课程标准解读 关联考点 核心素养 通过实例，了解分类加法计 数原理、分步乘法计数原理 及其意义 1.分类加法计数原理． 2.分步乘法计数原理． 3.两个计数原理的综合应用 1.数学建模． 2.数学运算． 3.数学抽象 [重点准·逐点清] 重点 两个计数原理 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m＋n 种不同的方法． [提醒] (1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后 结果，只需一种方法就可完成这件事； (2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m×n 种不同的方法． [提醒] (1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步 骤都完成了才能完成这件事； (2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏． [逐点清] 1．(选修 2－3 第 12 页 A 组 5(2)题改编)设集合 A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,4,6,8}，a∈A，b ∈B，则直线 ax＋by＝2 021 有_条( )
A. 4B. 5C. 20D. 9解析：选C分两个步骤：第一步确定，有5种方法，第二步确定b，有4种方法，所以由分步乘法计数原理得直线有5×4=20（条）.2.（选修2一3第10页练习3惠改编）已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法有种。解析：由分步乘法计数原理可知，走法总数为4×3=12（种）答案：12【记结论提速度][记结论]1.完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有m种不同的方法，，在第n类方案中有m.种不同的方法．那么，完成这件事共有N=ml十m2十十m种不同的方法。2.完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，，做第n步有m种不同的方法。那么，完成这件事共有N=m×m2××m种不同的方法[提速度]1书架的第1层放有10本不同的语文书，第2层放有12本不同的数学书，第3层放有10本不同的英语书，从书架中任取一本书，则不同的取法有种。解析：有三类方法，第1类从第1层取1本语文书，有10种方法：第2类从第2层取1本数学书，有12种方法；第3类从第3层取1本英语书，有10种方法，由分类加法计数原理，共有10+12+10=32种不同的取法答案：322.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有种。解析：需要先给C块着色，有4种方法；再给A块着色，有3种方法；再给B块着色，有2种方法；最后给D块着色，有2种方法，由分步乘法计数原理知，共有4×3×2×2=48（种)着色方法答案：48考点分类突破理解透规律明变化究其本课堂讲练第2页共120页
第 2 页 共 120 页 A．4 B．5 C．20 D．9 解析：选 C 分两个步骤：第一步确定 a，有 5 种方法，第二步确定 b，有 4 种方法， 所以由分步乘法计数原理得直线有 5×4＝20(条)． 2．(选修 2－3 第 10 页练习 3 题改编)已知某公园有 4 个门，从一个门进，另一个门出， 则不同的走法有_种． 解析：由分步乘法计数原理可知，走法总数为 4×3＝12(种)． 答案：12 [记结论·提速度] [记结论] 1．完成一件事可以有 n 类不同方案，各类方案相互独立，在第 1 类方案中有 m1 种不 同的方法，在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法，.，在第 n 类方案中有 mn 种不同的方 法．那么，完成这件事共有 N＝m1＋m2＋.＋mn种不同的方法． 2．完成一件事需要经过 n 个步骤，缺一不可，做第 1 步有 m1种不同的方法，做第 2 步 有 m2 种不同的方法，.，做第 n 步有 mn 种不同的方法．那么，完成这件事共有 N＝ m1×m2×.×mn种不同的方法． [提速度] 1．书架的第 1 层放有 10 本不同的语文书，第 2 层放有 12 本不同的数学书，第 3 层放 有 10 本不同的英语书，从书架中任取一本书，则不同的取法有_种． 解析：有三类方法，第 1 类从第 1 层取 1 本语文书，有 10 种方法；第 2 类从第 2 层取 1 本数学书，有 12 种方法；第 3 类从第 3 层取 1 本英语书，有 10 种方法，由分类加法计数 原理，共有 10＋12＋10＝32 种不同的取法． 答案：32 2.现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共 边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有_种． 解析：需要先给 C 块着色，有 4 种方法；再给 A 块着色，有 3 种方法； 再给 B 块着色，有 2 种方法；最后给 D 块着色，有 2 种方法，由分步乘法 计数原理知，共有 4×3×2×2＝48(种)着色方法． 答案：48
考点一分类加法计数原理[基础自学过关]】[题组练透]1.满足a，bE(一1,0,1,2)，且关于x的方程ax+2x十b=0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(）A.14B.13C. 12D. 10解析：选B当a=0时，关于x的方程为2x+b=0，此时有序数对(0，-1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求；当a≠0时，4=4-4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为(-1，-1),(-1,0)，(-1,1),(-1,2),(1，-1),(1,0),(1,1),(2，-1),(2,0).综上,满足要求的有序数对共有13个.故选B.2. 若精圆示+-=1 的焦点在 y 轴上， 且 m (12,34.5), n (1,23,4.6.7, 则这样的椭圆的个数为解析：当m=1时，n=2,3,4,5,6,7，共6个；当m=2时，n=3,4,5,6,7，共5个；当m=3时，n=4,5,6,7，共4个；当m=4时，n=56,7，共3个当m=5时，n=6,7，共2个.故共有6+5+4+3+2=20个满足条件的椭圆，答案：203.如果一个三位正整数如a1aza3"满足ai<az且az>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等），那么所有凸数的个数为解析：若a2=2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个。若a2=3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2X3=6(个）.若a2=4，满足条件的“凸数”有3×4=12（个），，若a2=9，满足条件的“凸数”有8×9=72（个）.所以所有凸数有2+6+12+20+30+42+56+72=240（个）答案：240[练后悟通]第3页共120页
第 3 页 共 120 页 分类加法计数原理 [基础自学过关] [题组练透] 1．满足 a，b∈{－1,0,1,2}，且关于 x 的方程 ax2＋2x＋b＝0 有实数解的有序数对(a，b) 的个数为( ) A．14 B．13 C．12 D．10 解析：选 B 当 a＝0 时，关于 x 的方程为 2x＋b＝0，此时有序数对(0，－1)，(0,0)， (0,1)，(0,2)均满足要求；当 a≠0 时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为(－ 1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．综上，满足要 求的有序数对共有 13 个．故选 B. 2．若椭圆x 2 m ＋ y 2 n ＝1 的焦点在 y 轴上，且 m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的 椭圆的个数为_． 解析：当 m＝1 时，n＝2,3,4,5,6,7，共 6 个； 当 m＝2 时，n＝3,4,5,6,7，共 5 个； 当 m＝3 时，n＝4,5,6,7，共 4 个； 当 m＝4 时，n＝5,6,7，共 3 个； 当 m＝5 时，n＝6,7，共 2 个．故共有 6＋5＋4＋3＋2＝20 个满足条件的椭圆． 答案：20 3．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1<a2 且 a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如 120,343,275 等)，那么所有凸数的个数为_． 解析：若 a2＝2，则百位数字只能选 1，个位数字可选 1 或 0，“凸数”为 120 与 121， 共 2 个．若 a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有 2×3＝ 6(个)．若 a2＝4，满足条件的“凸数”有 3×4＝12(个)，.，若 a2＝9，满足条件的“凸数” 有 8×9＝72(个)．所以所有凸数有 2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)． 答案：240 [练后悟通]
1．分类标准的选择(1)应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置.根据题目特点恰当选择一个分类标准：(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复，但也不能有遗漏，2.应用分类加法计数原理解题的一般思路分类将完成一件事的方法分成若干类计数求出每一类的方法数将每一类的方法数相加得出结果考点二分步乘法计数原理.[师生共研过关][例1]（1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为）DSAA. 24B. 18C. 12D. 9(2)有6名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有种不同的报名方法。[解析】（1)由题意可知，满足题意的E→F有6种走法，F-→G有3种走法，由分步乘法计数原理知，小明可以选择的最短路径条数为6×3=18.(2)每项限报一个，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项自有5种选法，第三个项自有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4=120（种）[答案] (1)B (2)120[对点变式]1.(变条件)本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？第4页共120页
第 4 页 共 120 页 1．分类标准的选择 (1)应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．根据题目特点恰当选择一个分类标准； (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种 类的两种方法是不同的方法，不能重复，但也不能有遗漏． 2．应用分类加法计数原理解题的一般思路 分步乘法计数原理 [师生共研过关] [例 1] (1)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处 的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A．24 B．18 C．12 D．9 (2)有 6 名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有 _种不同的报名方法． [解析] (1)由题意可知，满足题意的 E→F 有 6 种走法，F→G 有 3 种走法，由分步乘 法计数原理知，小明可以选择的最短路径条数为 6×3＝18. (2)每项限报一个，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有 6 种选法， 第二个项目有 5 种选法，第三个项目有 4 种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名 方法共有 6×5×4＝120(种)． [答案] (1)B (2)120 [对点变式] 1.(变条件)本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好 参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？
解：每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有3°=729（种）2.(变条件)本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？解：每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63=216（种）。【解题技法】1．分步乘法计数原理的注意点(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事；(2)分步必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成，2.应用分步乘法计数原理解题的一般思路分步将完成一件事的过程分成若干步求出每一步中的方法数国计数结论将每一步中的方法数相乘得最终结果[跟踪训练]1.已知aE(1,2,3)，bE(4,5,6,7)，则方程(x一a)2+(y-b)=4可表示不同的圆的个数为()A. 7B. 9C. 12D. 16解析：选C得到圆的方程分两步：第一步：确定a有3种选法：第二步：确定b有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有3×4=12（个）：第5页共120页
第 5 页 共 120 页 解：每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有 3 种不同的报名方法，根据分步乘 法计数原理，可得不同的报名方法共有 3 6＝729(种)． 2.(变条件)本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报 一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？ 解：每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步 乘法计数原理，可得不同的报名方法共有 6 3＝216(种)． [解题技法] 1．分步乘法计数原理的注意点 (1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是 有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都 完成了，才算完成这件事； (2)分步必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连 续，逐步完成． 2．应用分步乘法计数原理解题的一般思路 [跟踪训练] 1．已知 a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，则方程(x－a) 2＋(y－b) 2＝4 可表示不同的圆的个数为 ( ) A．7 B．9 C．12 D．16 解析：选 C 得到圆的方程分两步：第一步：确定 a 有 3 种选法；第二步：确定 b 有 4 种选法，由分步乘法计数原理知，共有 3×4＝12(个)．