第七章立体几何第一节空间几何体的结构特征、表面积及体积[备考领航]课程标准解读关联考点核心素养1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生1．空间几何体的结构特1.直观想活中简单物体的结构。征象.2。了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计2.数学建2.空间几何体的表面积，算公式（不要求记忆）：模.3．空间几何体的体积.3.会用斜二侧法画出简单空间图形（长方体、4.与球有关的切、接问题3．数学运算球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的直观图知识逐点夯实重点准逐点清：结论要牢记课前自修[重点准·逐点清]重点一空间几何体的结构特征1.多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台ELBACAe图形E底面互相平行且相等多边形互相平行且相似相交于二点，侧棱互相平行且相等延长线交于一点但不一定相等侧面形状平行四边形三角形梯形第1页共138页
第 1 页 共 138 页 第七章 立体几何 第一节 空间几何体的结构特征、表面积及体积 [备考领航] 课程标准解读 关联考点 核心素养 1．利用实物模型、计算机软件观察大量空间 图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体 的结构特征，并能运用这些特征描述现实生 活中简单物体的结构． 2．了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计 算公式(不要求记忆)． 3．会用斜二侧法画出简单空间图形(长方体、 球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的直观 图 1．空间几何体的结构特 征． 2．空间几何体的表面积． 3．空间几何体的体积． 4．与球有关的切、接问题 1．直观想 象． 2．数学建 模． 3．数学运算 [重点准·逐点清] 重点一 空间几何体的结构特征 1．多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且相等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点， 但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
[提醒] 特殊的四棱柱底面为棱垂真底面为平行六面体四棱柱直平行六面体平行四边形于底面矩形底面则棱与底面正方体长方体正四棱柱边长相等边长相等上述四棱柱有以下集合关系：正方体正四棱柱长方体（直平行六面体平行六面体[四棱柱}。2．旋转体的结构特征球名称圆柱圆锥圆台图形o互相平行且长度相等且延长线交母线相等，垂直于二一点相交于二点于底面全等的全等的圆轴截面全等的矩形等腰三角形等腰梯形侧面矩形扇形扇环展开图[提醒]球的截面的性质(1)球的任何截面都是圆面；（2）球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r=R?一[逐点清]1.(多选)下列说法正确的是(A：棱柱的侧棱长都相等B.棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面C.棱台的侧面是等腰梯形D.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面解析：选ADA正确；B不正确，例如六棱柱的相对侧面也互相平行；C不正确，棱台的侧棱长可能不相等；D正确，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，故选A。D.第2页共138页
第 2 页 共 138 页 [提醒] 特殊的四棱柱 四棱柱 ――→ 底面为 平行四边形 平行 六面体 ――→ 侧棱垂直 于底面 直平行 六面体 ――→ 底面为 矩形 长方体 ――→ 底面 边长相等 正四棱柱 ――→ 侧棱与底面 边长相等 正方体 上述四棱柱有以下集合关系：{正方体} {正四棱柱} {长方体} {直平行六面体} {平行 六面体} {四棱柱}． 2．旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且 相等，垂直 于底面 长度相等且 相交于一点 延长线交 于一点 轴截面 全等的矩形 全等的 等腰三角形 全等的 等腰梯形 圆 侧面 展开图 矩形 扇形 扇环 [提醒] 球的截面的性质 (1)球的任何截面都是圆面； (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 的关系为 r＝ R 2－d 2 . [逐点清] 1．(多选)下列说法正确的是( ) A．棱柱的侧棱长都相等 B．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面 C．棱台的侧面是等腰梯形 D．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 解析：选 AD A 正确；B 不正确，例如六棱柱的相对侧面也互相平行；C 不正确，棱 台的侧棱长可能不相等；D 正确，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，故选 A、 D
（填2.（必修2第8贡A组1(1)惠改端)在如图所示的几何体中，是棱柱的为写所有正确的序号)?@??解析：由棱柱的结构特征可知③③是棱柱，答案：?重点二直观图1.画法：常用斜二测画法。2.规则：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x'轴、y'轴的夹角为45或135°)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直；(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴。平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段长度在直观图中变为原来的一半。[逐点清]3.（必修2第19页练习3题改端）如图，直观图所表示的平面图形是)(A.正三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形解析：选D由直观图中A'CIly'轴，B'C!IIx'轴，还原后ACIly轴，BCIx轴，所以ABC是直角三角形，故选D重点三空间几何体的表面积与体积1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图2元0侧面S■台制Sm性例=2元lS国使侧=元l积公式(r+r [提醒】（1)几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和；第3页共138页
第 3 页 共 138 页 2．(必修 2 第 8 页 A 组 1(1)题改编)在如图所示的几何体中，是棱柱的为 ．(填 写所有正确的序号) 解析：由棱柱的结构特征可知③⑤是棱柱． 答案：③⑤ 重点二 直观图 1．画法：常用斜二测画法． 2．规则：(1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为 45°(或 135°)，z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直； (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于 x 轴和 z 轴的线 段在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． [逐点清] 3.(必修 2 第 19 页练习 3 题改编)如图，直观图所表示的平面图形是 ( ) A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 解析：选 D 由直观图中 A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后 AC∥y 轴，BC∥x 轴，所以△ABC 是直角三角形，故选 D. 重点三 空间几何体的表面积与体积 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面 积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝ π(r＋r′)l [提醒] (1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面 积之和；
(2)圆台、圆柱、圆锥的转化当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱：当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：S圆柱侧=2元l=S圆台侧=元(r+r')/=s圆锥侧=元rl.2.空间几何体的表面积与体积公式名称体积表面积几何体柱体（棱柱和圆柱）V=ShS 表国积=S m+2S 离锥体（棱锥和圆锥）S表西积=S#十S素V=jsh台体（棱台和圆台）S 表画积=S m+S上+S下S++S-ST)h4球S=4元R?V=SnR[逐点清]4.（必修2第27页练习1题改编）已知圆锥的表面积等于12元cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为（A.1cmB.2cm3C.3cmD.cm解析：选B由题意，得表=元+元l=元+元r2r=3元户=12元，得=4，所以r=2(cm) .5.（必修2第37贡2题改编）一个半径为21的球形冰块融化在一个半径为14的圆柱形的水桶内，则水面的高度为4元×213解析：设水面的高度为h，则=元×142×h，解得h=63，所以水面高度为63.答案：636.（必修2第28页A组3题改编）如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为第4页共138页
第 4 页 共 138 页 (2)圆台、圆柱、圆锥的转化 当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得 到圆锥，由此可得： S 圆柱侧＝2πrl――→ r′＝r S 圆台侧＝π(r＋r′)l――→ r′＝0 S 圆锥侧＝πrl. 2．空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V＝ 1 3 Sh 台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V＝ 1 3 (S 上＋ S 下＋ S上·S下)h 球 S＝4πR 2 V＝ 4 3 πR 3 [逐点清] 4．(必修 2 第 27 页练习 1 题改编)已知圆锥的表面积等于 12π cm2，其侧面展开图是一 个半圆，则底面圆的半径为( ) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D． 3 2 cm 解析：选 B 由题意，得 S 表＝πr 2＋πrl＝πr 2＋πr·2r＝3πr 2＝12π，得 r 2＝4，所以 r＝ 2(cm)． 5．(必修 2 第 37 页 2 题改编)一个半径为 21 的球形冰块融化在一个半径为 14 的圆柱形 的水桶内，则水面的高度为 ． 解析：设水面的高度为 h，则4π×213 3 ＝π×142×h，解得 h＝63，所以水面高度为 63. 答案：63 6.(必修 2 第 28 页 A 组 3 题改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱 的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比 为 ．
1解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为Vi=x-ax322”47111bX2c=48"abc，剩下的几何体的体积V=abc-abc=Cabc，所以V：V2=1：4748"48°答案：1：47【记结论·提速度][记结论]1.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系为SV2S 联脂恶， S 最固准=2V2S 童现用.2.几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R：①若球为正方体的外接球，则2R=V3a1②若球为正方体的内切球，则2R=a③若球与正方体的各棱相切，则2R=VZa.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R=Na+B+c;(3)正四面体内切球半径是高的，外接球半径是高的两半径之比为1：3.[提速度]A'y1.如图所示的直观图中，O'A=0'B=2，则其平面图形的面积是(）B. 4V2A. 4x1oB'C. 2V2D. 8解析：选AS原-AOB=2V2S-AOB=2V2×↓×2×2Xsin 45*=4.72．（2020·天津高考)若棱长为2V3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为)(A.12元B.24元C.36元D.144元解析：选C设外接球的半径为R，易知2R=V3×2V3=6，所以R=3，于是表面积S=4元R2=36元，故选C.3.若正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为第5页共138页
第 5 页 共 138 页 解析：设长方体的相邻三条棱长分别为 a，b，c，它截出棱锥的体积为 V1＝ 1 3 × 1 2 × 1 2 a× 1 2 b× 1 2 c＝ 1 48abc，剩下的几何体的体积 V2＝abc－ 1 48abc＝ 47 48abc，所以 V1∶V2＝1∶47. 答案：1∶47 [记结论·提速度] [记结论] 1．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系为 S 直观图 ＝ 2 4 S 原图形，S 原图形＝2 2S 直观图． 2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R： ①若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； ②若球为正方体的内切球，则 2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝ a 2＋b 2＋c 2； (3)正四面体内切球半径是高的1 4 ，外接球半径是高的3 4 ，两半径之比为 1∶3. [提速度] 1.如图所示的直观图中，O′A′＝O′B′＝2，则其平面图形的面 积是( ) A．4 B．4 2 C．2 2 D．8 解析：选 A S 原△AOB＝2 2S△A′O′B′ ＝2 2× 1 2 ×2×2×sin 45°＝4. 2．(2020·天津高考)若棱长为 2 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ( ) A．12π B．24π C．36π D．144π 解析：选 C 设外接球的半径为 R，易知 2R＝ 3×2 3＝6，所以 R＝3，于是表面积 S ＝4πR 2＝36π，故选 C. 3．若正四面体的棱长为 a，则其内切球的半径为 ．