第六章数列第一节数列的概念与简单表示[备考领航]课程标准解读关联考点核心素养1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通1.由 an与 S,的关系求通项an1.逻辑推理项公式）2.由递推关系求通项公式.2.数学运算3.数列的函数特征2.了解数列是自变量为正整数的一类函数知识逐点夯实课前自修重点准逐点清结论要牢记[重点准·逐点清]重点一数列的概念1.定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。[提醒】数列的一般形式为l，a2，，an，，通常记为am，其中an是数列an的第n项，S,=a1+az+…+an为(an)的前n项和.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号。2.数列的分类(1)有穷数列：项数有限按项数分类(2)无穷数列：项数无限R(1)递增数列：ag+>a,;按项与项间(2)递减数列：0g<a,:的大小关系(3)常数列：=，其分类中nEN'[提醒](1)并不是所有的数列都有通项公式;(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一[逐点清]1.891. (必修 5 第 67 页 A 组 2 题改编)数列(am)的前几项为,, 3,，则此数列2*第1页共91页
第 1 页 共 91 页 第六章 数 列 第一节 数列的概念与简单表示 [备考领航] 课程标准解读 关联考点 核心素养 1.了解数列的概念和几种简单 的表示方法(列表、图象、通 项公式). 2.了解数列是自变量为正整数 的一类函数 1.由 an与 Sn的关系求通项 an. 2.由递推关系求通项公式． 3.数列的函数特征 1.逻辑推理． 2.数学运算 [重点准·逐点清] 重点一 数列的概念 1．定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． [提醒] 数列的一般形式为 a1，a2，.，an，.，通常记为{an}，其中 an是数列{an}的第 n 项，Sn＝a1＋a2＋.＋an 为{an}的前 n 项和．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中 某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． 2．数列的分类 [提醒] (1)并不是所有的数列都有通项公式； (2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一． [逐点清] 1．(必修 5 第 67 页 A 组 2 题改编)数列{an}的前几项为1 2 ，3， 11 2 ，8， 21 2 ，.，则此数列
的通项可能是(15n-43n—2A.an=B.an226n-510n-9C.an=D.an=2261116211解析：选A数列为为2·2··，，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的5n-4等差数列，故通项公式为an=2n-11项2. (易增])在数列-10, 8, ,中，0.08是它的第nn-225，解得n=10或n=(舍)解析：依题意得“=25答案：10重点二数列的表示方法1.列表法：列出表格来表示数列an)的第n项与序号n之间的关系.见下表：序号n1237项ana(2(3an**2.图象法：在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，aa).3.通项公式法：如果数列(am的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。数列的通项公式实际上是一个以N或它的有限子集1,2,3，，n为定义域的函数的表达式4.递推公式法：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式[提醒] 通项公式与递推公式的异同点通项公式递推公式(1)反映项与序号的关系；(1)反映项与项的关系；不同点(2)可根据某项的序号n的值，直接代(2)可根据第一项(或前几项）通过赋值入求an求出数列的项，直至求出所需的an相同点都可确定一个数列，也都可以求出数列的任意一项[逐点清]第2页共91页
第 2 页 共 91 页 的通项可能是( ) A．an＝ 5n－4 2 B．an＝ 3n－2 2 C．an＝ 6n－5 2 D．an＝ 10n－9 2 解析：选 A 数列为1 2 ， 6 2 ， 11 2 ， 16 2 ， 21 2 ，.，其分母为 2，分子是首项为 1，公差为 5 的 等差数列，故通项公式为 an＝ 5n－4 2 . 2．(易错题)在数列－1,0， 1 9 ， 1 8 ，.， n－2 n 2 中，0.08 是它的第 项． 解析：依题意得 n－2 n 2 ＝ 2 25，解得 n＝10 或 n＝ 5 2 (舍)． 答案：10 重点二 数列的表示方法 1．列表法：列出表格来表示数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系．见下表： 序号 n 1 2 3 . n . 项 an a1 a2 a3 . an . 2．图象法：在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n， an)． 3．通项公式法：如果数列{an}的第 n 项与它的序号 n 之间的对应关系可以用一个式子 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列的通项公式实际上是一个以 N*或它 的有限子集{1,2,3，.，n}为定义域的函数的表达式． 4．递推公式法：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示， 那么这个式子叫做这个数列的递推公式． [提醒] 通项公式与递推公式的异同点 通项公式 递推公式 不同点 (1)反映项与序号的关系； (2)可根据某项的序号 n 的值，直接代 入求 an (1)反映项与项的关系； (2)可根据第一项(或前几项)通过赋值 求出数列的项，直至求出所需的 an 相同点 都可确定一个数列，也都可以求出数列的任意一项 [逐点清]
3.（多选)下列说法正确的是(A.任何数列都有通项公式B.数列的通项公式形式可能不唯一C，数列13,7,15,31，的一个通项公式为a,=2"一1D. 在数列(a)中, a=1, a,=1+二(-(n≥2)，则 as=an-13解析：选BCD不是每一个数列都有通项公式.例如，元的不足近似值精确到1,0.1,0.010.001，所构成的数列3,3.1,3.14,3.142，就没有通项公式，A错误；数列通项公式的形式可能不唯一.例如，数列-1,1，-1,1，-1,1，的通项公式可以[-1, n=2k-1,keN",写成am=（-1)"，也可以写成an=还可以写成a=cosn元，B[1,n=2k,keN,正确；观察发现数列1,3,7,15,31，各项分别加上1，变为2,4,8,16,32，，其通项为2"，故原数列的一个通项公式为am=2"-1，C正确；(- 1)"由递推公式an=1+(n≥2)知，an-11a2=1+=2ai(- 1)31a3=1+=2'az(- 1)*(4=1+3a3(-1)5_2D正确as = 1 +a4-3'重点三数列的函数性质数列是特殊的函数，由数列的项与项数之间构成特殊的函数关系可知，数列的通项am与n的关系公式就是函数x)的解析式，所以根据函数关系式得出数列的通项公式是重要途径，这样用函数的思想方法去解决数列问题很常用[逐点清]-8n，判断数列(a)的单调性4.已知数列(an的通项公式为an=）2Grn-8) ~-5.n2-8n则an+1-an=2(n + 1)2 - 8(n + 1) - (解：根据题意可知a，第3页共91页
第 3 页 共 91 页 3．(多选)下列说法正确的是( ) A．任何数列都有通项公式 B．数列的通项公式形式可能不唯一 C．数列 1,3,7,15,31，.的一个通项公式为 an＝2 n－1 D．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋ (－1) n an－1 (n≥2)，则 a5＝ 2 3 解析：选 BCD 不是每一个数列都有通项公式．例如，π 的不足近似值 精确到 1,0.1,0.01,0.001，.所构成的数列 3,3.1,3.14,3.142，.就没有通项公式，A 错误； 数列通项公式的形式可能不唯一．例如，数列－1,1，－1,1，－1,1，.的通项公式可以 写成 an＝(－1)n，也可以写成 an＝ －1，n＝2k－1，k∈N*， 1，n＝2k，k∈N*， 还可以写成 an＝cos nπ，B 正确； 观察发现数列 1,3,7,15,31，.各项分别加上 1，变为 2,4,8,16,32，.，其通项为 2 n，故 原数列的一个通项公式为 an＝2 n－1，C 正确； 由递推公式 an＝1＋ (－1) n an－1 (n≥2)知， a2＝1＋ 1 a1 ＝2， a3＝1＋ (－1) 3 a2 ＝ 1 2 ， a4＝1＋ (－1) 4 a3 ＝3， a5＝1＋ (－1) 5 a4 ＝ 2 3 ，D 正确． 重点三 数列的函数性质 数列是特殊的函数，由数列的项与项数之间构成特殊的函数关系可知，数列的通项 an 与 n 的关系公式就是函数 f(x)的解析式，所以根据函数关系式得出数列的通项公式是重要途 径，这样用函数的思想方法去解决数列问题很常用． [逐点清] 4．已知数列{an}的通项公式为 an＝ 1 2 n 2－8n，判断数列{an}的单调性． 解：根据题意可知 an＝ 1 2 n 2－8n，则 an＋1－an＝ 1 2 (n＋1)2－8(n＋1)－ 1 2 n 2－8n ＝n－ 15 2
由数列的定义域为正整数集可知当n<8时，An+1-an<0，数列an是递减数列当n≥8时，an+1-a>0，数列(an)是递增数列.[记结论提速度][记结论]1.若数列(an)的前n项和为Ss，通项公式为an[S1, n=1,则an=[S,-S,-1,n≥2,nEN*Jan≥an-1,[an≤an-1,2.在数列(an)中，若an最大,则(n≥2，nEN)；若aa最小，则[an≥an+Lan≤an+1(n≥2, nEN').[提速度]1.已知数列(an的前n项和S,=n2+1，则an=解析：当n=1时，al=Si=2当n≥2时，a,=S, - Sn-1=n +1 - [(n - 1)2 +1]= 2n - 1 ,a1=2不满足上式[2, n=1,故an=[2n-1,n≥2,nEN*[2, n=1,答案：[2n-1, n≥2, nEN2.数列(an)中，an=一n2+11n(nEN)，则此数列最大项的值是[an≥aa-1,解析：若an最大，则[an≥an+1,[ - n2 +11n≥ -(n - 1)2 +11(n - 1) ,即[- n2+ 11n≥ -(n+ 1)2+ 11(n+ 1),解得5≤n≤6.nEN，当n=5或n=6时，a取最大值30答案：30共91页第4页
第 4 页 共 91 页 由数列的定义域为正整数集可知，当 n<8 时，an＋1－an<0，数列{an}是递减数列；当 n≥8 时，an＋1－an>0，数列{an}是递增数列． [记结论·提速度] [记结论] 1．若数列{an}的前 n 项和为 Sn，通项公式为 an， 则 an＝ S1，n＝1， Sn－Sn－1，n≥2，n∈N* . 2．在数列{an}中，若 an最大，则 an≥an－1， an≥an＋1 (n≥2，n∈N* )；若 an最小，则 an≤an－1， an≤an＋1 (n≥2，n∈N* )． [提速度] 1．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n 2＋1，则 an＝ . 解析：当 n＝1 时，a1＝S1＝2；当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝n 2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1， a1＝2 不满足上式． 故 an＝ 2，n＝1， 2n－1，n≥2，n∈N* . 答案： 2，n＝1， 2n－1，n≥2，n∈N* 2．数列{an}中，an＝－n 2＋11n(n∈N* )，则此数列最大项的值是 ． 解析：若 an最大，则 an≥an－1， an≥an＋1， 即 －n 2＋11n≥－(n－1) 2＋11(n－1)， －n 2＋11n≥－(n＋1) 2＋11(n＋1)， 解得 5≤n≤6. ∵n∈N*，∴当 n＝5 或 n＝6 时，an取最大值 30. 答案：30
考点分类突破理解透规律明变化究其本课堂讲练考点一由an与S,的关系求通项an[师生共研过关][例1](1)已知数列(a的前n项和S,=2"一3，则数列(an的通项公式是1.2(2)已知数列(an)的前n项和Sa=+，则(a)的通项公式a,=34m+(3)已知数列a满足ai十2a2十3a3十十na=2"，则a=[解析](1)当n=1时,ai=Si=2-3=-1;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2″-3)-(2″-1-3)=2"-2m-1=2″-1.当n=1时不满足，故1,n=1,12n≥21..2，所以a=1;当n≥2时，ag=S,-Sh-1=3an3n-1,(2)当n=1时，al=S1=3a1+,所以“=、1(.).1，所以数列(a)为首项a=1，公比q=的等比数列，故an=(2an-1(3)当n=1时，由已知，可得ai=2=2；:a+2a+3a3+.+nan=2",?故a1+2a2+3a3++(n-1)an-1=2"-1(n≥2)，②由①—②得n,=2"—2″-1=2″-12n-1..ann显然当n=1时不满足上式.[2, n=1,2#-1..an=3[n, n≥2.-1,n=1[答案] (1)an-1, n≥22m~[2, n=1,(3)/ 2m-1，n≥2第5页共91页
第 5 页 共 91 页 由 an与 Sn的关系求通项 an [师生共研过关] [例 1] (1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2 n－3，则数列{an}的通项公式是 ； (2)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝ 1 3 an＋ 2 3 ，则{an}的通项公式 an＝ ； (3)已知数列{an}满足 a1＋2a2＋3a3＋.＋nan＝2 n，则 an＝ . [解析] (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2－3＝－1； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2 n－2 n－1＝2 n－1 .当 n＝1 时不满足，故 an＝ －1，n＝1， 2 n－1，n≥2. (2)当 n＝1 时，a1＝S1＝ 1 3 a1＋ 2 3 ，所以 a1＝1；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝ 1 3 an－ 1 3 an－1， 所以 an an－1 ＝－ 1 2 ，所以数列{an}为首项 a1＝1，公比 q＝－ 1 2 的等比数列，故 an＝ － 1 2 n－1 . (3)当 n＝1 时，由已知，可得 a1＝2 1＝2； ∵a1＋2a2＋3a3＋.＋nan＝2 n，① 故 a1＋2a2＋3a3＋.＋(n－1)an－1＝2 n－1 (n≥2)，② 由①－②得 nan＝2 n－2 n－1＝2 n－1， ∴an＝ 2 n－1 n . 显然当 n＝1 时不满足上式． ∴an＝ 2，n＝1， 2 n－1 n ，n≥2. [答案] (1)an＝ －1，n＝1， 2 n－1，n≥2 (2) － 1 2 n－1 (3) 2，n＝1， 2 n－1 n ，n≥2