第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数[备考领航]课程标准解读关联考点核心素养1.了解任意角的概念和弧度制，能1.象限角及终边相同的角。1.数学抽象.进行弧度与角度的互化，2.直观想象.2.扇形的弧长及面积公式的应用，2.借助单位圆理解三角函数（正3.三角函数的定义及应用3.数学运算弦、余弦、正切)的定义知识逐点夯实重点准遂点清结论要牢记课前自修[重点准·逐点清]重点一角的概念的推广1：定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形【按旋转方向不同分为正角、负角、零角；2.分类1按终边位置不同分为象限角和轴线角3.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S=(βB=a+k.360°,keZ).[提醒］终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同。[逐点清]1.（必修4第5贡练习3(2)题改编）一870°的角的终边所在的象限是（A.第一象限B.第二象限D.第四象限C.第三象限解析：选C-870°=-2×360°-150°，-870°和-150°的终边相同，所以-870°的终边在第三象限。终边相同的角2. (必修 4 第 5 页练习 5(2)题改编)在 0 到 2元 范围内，与角 a=-3是第1页共155页
第 1 页 共 155 页 第四章 三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 [备考领航] 课程标准解读 关联考点 核心素养 1.了解任意角的概念和弧度制，能 进行弧度与角度的互化． 2.借助单位圆理解三角函数(正 弦、余弦、正切)的定义 1.象限角及终边相同的角． 2.扇形的弧长及面积公式的应用． 3.三角函数的定义及应用 1.数学抽象． 2.直观想象． 3.数学运算 [重点准·逐点清] 重点一 角的概念的推广 1．定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． 2．分类 按旋转方向不同分为正角、负角、零角； 按终边位置不同分为象限角和轴线角. 3．终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝{β|β ＝α＋k·360°，k∈Z}． [提醒] 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． [逐点清] 1．(必修 4 第 5 页练习 3(2)题改编)－870°的角的终边所在的象限是( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选 C －870°＝－2×360°－150°，－870°和－150°的终边相同，所以－870°的终 边在第三象限． 2．(必修 4 第 5 页练习 5(2)题改编)在 0 到 2π 范围内，与角 α＝－ 4π 3 终边相同的角 是 ．
终边相同的角是2k元 +()keZ)，令k=1,可得与角α=解析：与角α=-4终边相同的角是只2答案：213重点二弧度制的定义和公式1.定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。2.公式[a|=(1 表示弧长)角α的弧度数公式元①I=角度与弧度的换算1so rad; @1 rd=弧长公式[= lalr扇形面积公式S=jlr=lalr[提醒]有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是元=180°，在同一个式子中，采用的度量必须一致，不可混用；(2）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度[逐点清]3. (岛增题)下列与引的“的终边相同的角的表达式中正确的是（A.2k+45°(kEZ)B.k-360°+(kEZ)5元C.k-360°-315°(kEZ)D. k元+(kEZ)Y解析：选C由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为+2k或k·360°-315°(kEZ)4。（必修4第8贡例3改编）一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为（)A. 1B.3c.D. 23解析：选B因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两半径构成等边三角形，第2页共155页
第 2 页 共 155 页 解析：与角 α＝－ 4π 3 终边相同的角是 2kπ＋ － 4π 3 (k∈Z)，令 k＝1，可得与角 α＝－ 4π 3 终边相同的角是2π 3 . 答案： 2π 3 重点二 弧度制的定义和公式 1．定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示． 2．公式 角 α 的弧度数公式 |α|＝ l r (l 表示弧长) 角度与弧度的换算 ①1°＝ π 180 rad；②1 rad＝ 180 π ° 弧长公式 l＝|α|r 扇形面积公式 S＝ 1 2 lr＝ 1 2 |α|r 2 [提醒] 有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是 π＝180°，在同一个式子中，采用的度量必须一致，不可 混用； (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． [逐点清] 3．(易错题)下列与9π 4 的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋ 9 4 π(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋ 5π 4 (k∈Z) 解析：选 C 由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为π 4 ＋2kπ 或 k·360°－315°(k∈Z)． 4．(必修 4 第 8 页例 3 改编)一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为( ) A． π 6 B． π 3 C． 1 2 D． 1 3 解析：选 B 因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两半径构成等边三角形
所以弦所对圆心角为60°，即为rad.重点三任意角的三角函数1.定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，J)，那么sinα=之，cosy(x±0)a=x，tana=x2.推广：设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r=|OPl，则sinα=xVtanas(x0)cosa=-x[逐点清]5.（必修4第12页例2改编)已知角a的终边过点P(一4,3)，则2sinα十tanα的值是(）-99B.A.20202C. -2D.53A解析：选B角α的终边经过点P(-4,3)，r=OP|=5...sina=,cosa=,tanSS2α=-73739..2sina+tana=2X故选B+（-4)=2056.(必修 4第13页例3改编)若角 0同时满足 sin0<0且 tan0<0,则角 0的终边一定位于（）A，第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选D由sin0<0，可知0的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合.由tan0<0，可知0的终边可能位于第二象限或第四象限，故0的终边只能位于第四象限.【记结论提速度][记结论]1．一个口决：三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦2.象限角第3页共155页
第 3 页 共 155 页 所以弦所对圆心角为 60°，即为π 3 rad. 重点三 任意角的三角函数 1．定义：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 sin α＝ y ，cos α＝ x ，tan α＝ y x (x≠0)． 2．推广：设点 P(x，y)是角 α 终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则 sin α＝ y r ， cos α＝ x r ，tan α＝ y x (x≠0)． [逐点清] 5．(必修 4 第 12 页例 2 改编)已知角 α 的终边过点 P(－4,3)，则 2sin α＋tan α 的值是 ( ) A．－ 9 20 B． 9 20 C．－ 2 5 D． 2 5 解析：选 B ∵角 α 的终边经过点 P(－4,3)，∴r＝|OP|＝5.∴sin α＝ 3 5 ，cos α＝－ 4 5 ，tan α＝－ 3 4 . ∴2sin α＋tan α＝2× 3 5 ＋ － 3 4 ＝ 9 20.故选 B. 6．(必修 4 第 13 页例 3 改编)若角 θ 同时满足 sin θ＜0 且 tan θ＜0，则角 θ 的终边一定 位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选 D 由 sin θ＜0，可知 θ 的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与 y 轴 的非正半轴重合．由 tan θ＜0，可知 θ 的终边可能位于第二象限或第四象限，故 θ 的终边只 能位于第四象限． [记结论·提速度] [记结论] 1．一个口诀：三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．象限角
第一象限角(a|2kn<α<2k元+受，kEz)象限角的集合第二象限角a2k元+号<α<2k元+，kz)第三象限角[a|2k元+<α<2k元+号，Ez第四象限角[a|2k元+翌<α<2k元+2元，z3.轴线角aα=k,hez)终边落在轴上的角轴线角的集台aα=+,ez终边落在y轴上的角终边落在坐标轴上的角(aα=专元，kEz[提速度]1.已知角a为第二象限角，点P(tana，sina)在)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选B因为角α为第二象限角，所以tana<0，sina>0，则点P(tana，sina)在第二象限.故选B.2.终边在直线y=x上的角α的取值集合是(A.(ala=n·360°+135，nEZ)B.{aa=n360°-45nEZ)C.(ala=n180°+45，nEZ)D.(ala=n·180°-45，nEZ)解析：选C终边在×轴上的取值集合为（Bβ=n-180°，nEZ，把×轴绕原点按逆时针旋转45°得到α，则α的取值集合为alα=n·180°+45°，nEz考点分类突破理解透规律明变化究其本课堂讲练考点一象限角及终边相同的角[基础自学过关][题组练透]K-,180°+45, kez(x-→180+45, kez)N=,那么(1.设集合M=xx第4页共155页
第 4 页 共 155 页 3．轴线角 [提速度] 1．已知角 α 为第二象限角，点 P(tan α，sin α)在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选 B 因为角 α 为第二象限角，所以 tan α<0，sin α>0，则点 P(tan α，sin α)在 第二象限．故选 B. 2．终边在直线 y＝x 上的角 α 的取值集合是( ) A．{α|α＝n·360°＋135°，n∈Z} B.{α|α＝n·360°－45°，n∈Z} C．{α|α＝n·180°＋45°，n∈Z} D.{α|α＝n·180°－45°，n∈Z} 解析：选 C 终边在 x 轴上的取值集合为{β|β＝n·180°，n∈Z}，把 x 轴绕原点按逆时 针旋转 45°得到 α，则 α 的取值集合为{α|α＝n·180°＋45°，n∈Z}. 象限角及终边相同的角 [基础自学过关] [题组练透] 1．设集合M＝ x x＝ k 2 ·180°＋45°，k∈Z ，N＝ x x＝ k 4 ·180°＋45°，k∈Z ，那么( )
A.M=NB.MNC.NCMD.MNN=@解析：选B由于M中，x=5·180°+45°=k-90°+45°=（2k+1)45°2k+1是奇数；而2-180°+45°=k.45°+45°=（k+1)·45°，k+1是整数，因此必有MCN.N中,x=72.（多选）已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析：选AC因为角2α的终边在x轴的上方，所以k?360<2α<k360°+180°，kEZ，则有k180<a<k.180°+90°kEz故当k=2n，nEZ时，n?360<a<n?360°+90°，nEZ，α为第一象限角；当k=2n+1，nEz时，n?360°+180a<n?360°+270°，nEz，α为第三象限角.故选A.C.3.在一720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为解析：所有与45°终边相同的角可表示为：β=45°+kX360°(kEZ),则令-720°≤45°+k×360<0°(kEZ)，得-765°≤kX360<-45°(kEZ),-<K-<-3o(kEZ),从而k= -2 或k= -1,代入得β=-675°或β=-315°答案：675°或—315°4。终边在直线y=V3x上，且在[一2元，2元)内的角α的集合为解析：如图，在坐标系中画出直线y=V3x，可以发现它与x轴的夹角V3x鲁是，在[0,2m)内，终边在直线y=V3x上的角有两个：，：个9：在[-2元，0]10内满足条件的角有两个：一，号，故满足条件的角 α构成的集合为33[.5，2,”,4元](-3.-33.3]答案：，一，，][-3′-3'3'3]第5页共155页
第 5 页 共 155 页 A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅ 解析：选 B 由于 M 中，x＝ k 2 ·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1 是奇数；而 N 中，x＝ k 4 ·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1 是整数，因此必有 M⊆N. 2．(多选)已知角 2α 的终边在 x 轴的上方，那么角 α 可能是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：选 AC 因为角 2α 的终边在 x 轴的上方，所以 k·360°<2α<k·360°＋180°，k∈Z， 则有 k·180°<α<k·180°＋90°，k∈Z. 故当 k＝2n，n∈Z 时，n·360°<α<n·360°＋90°，n∈Z，α 为第一象限角； 当 k＝2n＋1，n∈Z 时，n·360°＋180°<α<n·360°＋270°，n∈Z，α 为第三象限角．故选 A、C. 3．在－720°～0°范围内所有与 45°终边相同的角为 ． 解析：所有与 45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)， 得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)， 解得－765 360≤k<－ 45 360(k∈Z)，从而 k＝－2 或 k＝－1， 代入得 β＝－675°或 β＝－315°. 答案：－675°或－315° 4．终边在直线 y＝ 3x 上，且在[－2π，2π)内的角 α 的集合为 ． 解析：如图，在坐标系中画出直线 y＝ 3x，可以发现它与 x 轴的夹角 是 π 3 ，在[0,2π)内，终边在直线 y＝ 3x 上的角有两个：π 3 ， 4π 3 ；在[－2π，0) 内满足条件的角有两个：－2π 3 ，－ 5π 3 ，故满足条件的角 α 构成的集合为 － 5π 3 ，－ 2π 3 ， π 3 ， 4π 3 . 答案： － 5π 3 ，－ 2π 3 ， π 3 ， 4π 3