82-3.单位元、逆元、消去律内容提要2.1单位元2.2逆元2.3乘方2.4消去律2.5有限群的另一定义2.6加群2.7元素的阶
§2-3 .单位元、逆元、消去律 内容提要 2.1单位元 2.2逆元 2.3 乘方 2.4消去律 2.5有限群的另一定义 2.6 加群 2.7 元素的阶
在这一节里我们要证明群的几个极重要的性质2.1单位元定理1在一个群里存在一个并且只存在一个元，能使ea=ae=a对于G的任意元 α 都对证明..证完.定义1一个群G的唯一的能使eα三ae三a（是的任意元）的元e叫做群G的单位元
在这一节里我们要证明群的几个极重要的性质． 证明.证完． 定义1 一个群 的唯一的能使 (是的任意元） 的元 叫做群 的单位元． G ea ae a = = e G 单位元 定理１在一个群里存在一个并且只存在一 个元，能使 对于 的任意元 都对． ea ae a = = G a 2.1
2.2逆元定理2 对于群 G的每一个元 α 来说，在 G 里存在一个而且只存在一个元α-1，能使α-'α= aα-l =e证明.证完.定义2唯一的能使a-la=aa-l=e的元α叫做元α的逆元（有时简称逆）
逆元 定理２ 对于群 的每一个元 来说，在 里存在 一个而且只存在一个元 ，能使 2.2 G a G 1 a − 1 1 a a aa e − − = = 证明 .证完. 定义2 唯一的能使 的元 叫做元 的逆元（有时简称逆）． 1 1 a a aa e − − = = 1 a − a
例1我们已经知道全体不等于零的有理数对于普通乘法来说作成一个群：这个群的单位元1，α的逆元是例2全体整数对于普通加法来说作成一个群．这个群的单位元是零，a的逆元是一α
例１ 我们已经知道全体不等于零的有理数对于普通 乘法来说作成一个群．这个群的单位元１， 的逆元 是 ． a 1 a 例２ 全体整数对于普通加法来说作成一个群．这个群 的单位元是零， a 的逆元是 −a．
2.3乘方当是正整数时，我们已经规定过符号的意义，并且(1)n+ma"am = a'2(2)(a")" = amm现在我们利用唯一的单位元 e和α 的逆元α-规定：=ea
2.3 乘方 当是正整数时，我们已经规定过符号的意义，并且 （１） （２） n m n m a a a + = ( )n m nm a a = 现在我们利用唯一的单位元 和 的逆元 规定： 0 a e = e a 1 a −