确；由图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确。[2*+1, x<1],2.已知函数F(x)=且f((0))=4a，则—2)=，实数（l2+ax,x≥1,解析：依题意（-2)=2-2+1=, 0)=20+1=2 , (2)=2 +2a=4a,解得 a= 2.2答案：4微专题（三）思想方法待定系数法的应用待定系数法就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为解方程（组)问题来解决.待定系数法主要用来解决所求解的数学问题涉及某种确定的数学表达式的情况，例如求函数解析式、求曲线的方程等问题（注：有理[典例】若f(x)为有理函数，且fx+1)+f(x—1)=2x2—4x，则J(x)=函数是通过多项式的加减乘除得到的函数)。[解析](x+1),f(x-1)与f(x)有相同的次数，且(x+1)+(x-1)=2x2-4x，(x)为有理函数，(x)为二次函数设f(x)=ax+bx+c(a±0),则f(x+ 1)=a(x+1)2 +b(x +1)+ c,(x - 1)= a(x - 1)2 + b(x - 1) + c,: f(x + 1) + f(x - 1)= 2ax2 + 2bx +2(a + c) =2x2 - 4x ,[2a=2,[a=1,32b=-4,解得 b= -2,f(x)=x2 -2x-1[2(a+c) =0 ,(c= - 1.[答案]x2—2x-1[跟踪训练]1.已知函数(x)=x2+ax+b的图象过坐标原点，且满足(一x)=f(一1+x)，则函数f(x)在[一1,3]上的值域为(B[-↓, 12]A. [0,12]第11页共160页
第 11 页 共 160 页 确；由图③可以看出，当乘客量为 0 时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客 量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故 C 正确． 2．已知函数 f(x)＝ 2 x＋1，x<1， x 2＋ax，x≥1， 且 f(f(0))＝4a，则 f(－2)＝_，实数 a＝ _. 解析：依题意 f(－2)＝2－2＋1＝ 5 4 ，f(0)＝2 0＋1＝2，f(2)＝2 2＋2a＝4a，解得 a＝2. 答案：5 4 2 微专题(三) 思想方法 待定系数法的应用 待定系数法就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为解 方程(组)问题来解决．待定系数法主要用来解决所求解的数学问题涉及某种确定的数学表达 式的情况，例如求函数解析式、求曲线的方程等问题． [典例] 若 f(x)为有理函数，且 f(x＋1)＋f(x－1)＝2x 2－4x，则 f(x)＝_(注：有理 函数是通过多项式的加减乘除得到的函数)． [解析] ∵f(x＋1)，f(x－1)与 f(x)有相同的次数， 且 f(x＋1)＋f(x－1)＝2x 2－4x，f(x)为有理函数，∴f(x)为二次函数． 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则 f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c， f(x－1)＝a(x－1)2＋b(x－1)＋c， ∴f(x＋1)＋f(x－1)＝2ax2＋2bx＋2(a＋c)＝2x 2－4x， ∴ 2a＝2， 2b＝－4， 2(a＋c)＝0， 解得 a＝1， b＝－2， c＝－1. ∴f(x)＝x 2－2x－1. [答案] x 2－2x－1 [跟踪训练] 1．已知函数 f(x)＝x 2＋ax＋b 的图象过坐标原点，且满足 f(－x)＝f(－1＋x)，则函数 f(x) 在[－1,3]上的值域为( ) A．[0,12] B. － 1 4 ，12
[212]12解析：选B因为函数f(x)=x+ax+b的图象过坐标原点，所以f(0)=0，则b=0.由(-x)=(-1+x)，可知函数的图象的对称轴为直线x=2,所以a=1,ha则(x)=x +x:所以当x=-时，x）取得最小值，且最小值为又( - 1)=0 , (3)=12 ,所以,(x)在[-1,3]上的值域为12元元2.已知角α，β满足一，0<α+β<元，则3α一β的取值范围是2[m+n=3,解析：由题意可设3a-β=m(a-)+n(a+β)=(m+n)a+(n-m)β,则[n-m=-1,m=2,因为"。<α-β<号, 0<a+β<n,所以-n<2(α-β)<n,故-π<3α-β<解得22(n=1.2元.所以3α－β的取值范围是（-元，2元）答案：（一元，2元）[课时过关检测,A级-一基础达标1. 函数y=log2(2x-4)+的定义域是(-A. (2,3)B. (2, +0)C. (3, +)D. (2,3)U(3, +)[2x - 4>0 ,解析：选D由题意，得解得x>2且x≠3，所以函数y=log2(2x-4)+x-3±0,的定义域为(2,3)U(3，+α），故选D.x-32.已知函数(x十1)的定义域为(一2,0)，则,(2x一1)的定义域为(A. (1,0)B. (-2,0)第12页共160页
第 12 页 共 160 页 C. － 1 2 ，12 D． 3 4 ，12 解析：选 B 因为函数 f(x)＝x 2＋ax＋b 的图象过坐标原点，所以 f(0)＝0，则 b＝0. 由 f(－x)＝f(－1＋x)，可知函数的图象的对称轴为直线 x＝－ 1 2 ，所以 a＝1， 则 f(x)＝x 2＋x＝ x＋ 1 2 2－ 1 4 ， 所以当 x＝－ 1 2 时，f(x)取得最小值，且最小值为－1 4 . 又 f(－1)＝0，f(3)＝12， 所以 f(x)在[－1,3]上的值域为 － 1 4 ，12 . 2．已知角 α，β 满足－π 2 ＜α－β＜ π 2 ，0＜α＋β＜π，则 3α－β 的取值范围是_． 解析：由题意可设 3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)＝(m＋n)α＋(n－m)β，则 m＋n＝3， n－m＝－1， 解得 m＝2， n＝1. 因为－π 2 ＜α－β＜ π 2 ，0＜α＋β＜π，所以－π＜2(α－β)＜π，故－π＜3α－β＜ 2π.所以 3α－β 的取值范围是(－π，2π)． 答案：(－π，2π) [课时过关检测] A 级——基础达标 1．函数 y＝log2(2x－4)＋ 1 x－3 的定义域是( ) A．(2,3) B．(2，＋∞) C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞) 解析：选 D 由题意，得 2x－4>0， x－3≠0， 解得 x>2 且 x≠3，所以函数 y＝log2(2x－4)＋ 1 x－3 的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选 D. 2．已知函数 f(x＋1)的定义域为(－2,0)，则 f(2x－1)的定义域为( ) A．(－1,0) B．(－2,0)
C. (0,1)解析：选C由题意，知-1<x+1<1,则/(x)的定义域为(-1,1).令-1<2x-1<1，得0<x<1.:(2x-1)的定义域为(0,1).3.已知=2x一5，且(a)=6，则a等于(A_7B. 4cs4D.3解析：选A令t=-1,则x=21+2,()=2(21+2)-5=4t-1故(x)=4x-1,则/a)=4a-1=6，解得a=一.故选A4.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y=x?+1，值域为(1,3)的同族函数有（)A.1个B. 2个C. 3个D.4个解析：选C由x+1=1得x=0，由x+1=3得x=±V2，所以函数的定义域可以是(0，V2)，(0，-V2)，(0，V2，-V2)，故值域为(1,3)的同族函数共有3个.5.如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQIAB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP=x(0<x<2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或0PAPOD)的面积为y，则函数v=(x)的大致图象是(1F2元2元cD解析：选A观察可知阴影部分的面积y的变化情况为：（1)当0<r≤1时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越快.(2)当1<x<2时，随x的增大而增大，而且增加的速第13页共160页
第 13 页 共 160 页 C．(0,1) D． － 1 2 ，0 解析：选 C 由题意，知－1＜x＋1＜1，则 f(x)的定义域为(－1,1)．令－1＜2x－1＜1， 得 0＜x＜1.∴f(2x－1)的定义域为(0,1)． 3．已知 f 1 2 x－1 ＝2x－5，且 f(a)＝6，则 a 等于( ) A. 7 4 B．－ 7 4 C. 4 3 D．－ 4 3 解析：选 A 令 t＝ 1 2 x－1，则 x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，故 f(x)＝4x－1，则 f(a)＝4a－1＝6，解得 a＝ 7 4 .故选 A. 4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同， 则称这些函数为“同族函 数”，则函数解析式为 y＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解析：选 C 由 x 2＋1＝1 得 x＝0，由 x 2＋1＝3 得 x＝± 2，所以函数的定义域可以是 {0， 2}，{0，－ 2}，{0， 2，－ 2}，故值域为{1,3}的同族函数共有 3 个． 5.如图，△AOD 是一直角边长为 1 的等腰直角三角形，平面图形 OBD 是四分之一圆的扇形，点 P 在线段 AB 上，PQ⊥AB，且 PQ 交 AD 或交 弧 DB 于点 Q，设 AP＝x(0<x<2)，图中阴影部分表示的平面图形 APQ(或 APQD)的面积为 y，则函数 y＝f(x)的大致图象是( ) 解析：选 A 观察可知阴影部分的面积 y 的变化情况为：(1)当 0<x≤1 时，y 随 x 的增 大而增大，而且增加的速度越来越快．(2)当 1<x<2 时，y 随 x 的增大而增大，而且增加的速
度越来越慢分析四个答案中的图象，只有选项A符合条件，16. (多选)函数N)=1本, xE(一8, 0) U(0, +α), 则下列等式成立的是(A. J(x)=B. -(x)=人C=)D. f(-x)=-f(x)1解析：选AD根据题意得J(x)=，所以1+，所以x1 +x2-xX“1+(-=1+=-),所以(-)=-),故选A、D.f(-x) =7.（多选)如图所示是函数yfx)的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是(A，函数,(x)的定义域为[一4,4)B.函数f(x)的值域为[0，十)C。此函数在定义域内是增函数D.对于任意的yE(5，十8)，都有唯一的自变量x与之对应解析：选BD对于A，由函数的图象可知，函数的定义域为[-4,0]U[1,4),故A错误；对于B，由函数的图象可知，函数的值域为[0，+80），故B正确；对于C，函数在[-4,0]，[1,4)是增函数，结合图象可知，此函数在定义域内不是增函数，故C错误；对于D，由函数的图象可知，对于任意的yE(5，+），都有唯一的自变量x与之对应故D正确。故选B、D.8.（多选）(2021·河北衡水调研)下列函数中，满足(18x)=18(x)的是（A. f(x)=μlB. (x)=x一μlC. f(x)=x+2D. f(x)=-2x解析：选ABD若(x)=，则(18x)=18x=18=18/(x)；若(x)=x-，则(18x)第14页共160页
第 14 页 共 160 页 度越来越慢．分析四个答案中的图象，只有选项 A 符合条件． 6．(多选)函数 f(x)＝ x 1＋x 2，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是( ) A．f(x)＝f 1 x B．－f(x)＝f 1 x C. 1 f(x) ＝f 1 x D．f(－x)＝－f(x) 解析：选 AD 根据题意得 f(x)＝ x 1＋x 2，所以 f 1 x ＝ 1 x 1＋ 1 x 2 ＝ x 1＋x 2，所以 f(x)＝f 1 x ； f(－x)＝ －x 1＋(－x) 2＝－ x 1＋x 2＝－f(x)，所以 f(－x)＝－f(x)，故选 A、D. 7．(多选)如图所示是函数 y＝f(x)的图象，图中 x 正半轴曲线与虚线无限接近但是永不 相交，则以下描述正确的是( ) A．函数 f(x)的定义域为[－4,4) B．函数 f(x)的值域为[0，＋∞) C．此函数在定义域内是增函数 D．对于任意的 y∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量 x 与之对应 解析：选 BD 对于 A，由函数的图象可知，函数的定义域为[－4,0]∪[1,4)，故 A 错误； 对于 B，由函数的图象可知，函数的值域为[0，＋∞)，故 B 正确； 对于 C，函数在[－4,0]，[1,4)是增函数，结合图象可知，此函数在定义域内不是增函数， 故 C 错误； 对于 D，由函数的图象可知，对于任意的 y∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量 x 与之对应， 故 D 正确． 故选 B、D. 8．(多选)(2021·河北衡水调研)下列函数中，满足 f(18x)＝18f(x)的是( ) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋2 D．f(x)＝－2x 解析：选 ABD 若 f(x)＝|x|，则 f(18x)＝|18x|＝18|x|＝18f(x)；若 f(x)＝x－|x|，则 f(18x)
=18x-[18x|=18(x-x)=18(x)若(x)=x+2则(18x)=18x+2而18/(x)=18x+18×2,故(x)=x+2不满足J(18x)=18/(x)：若(x)=-2x，则f(18x)=-2×18x=18×(-2x)=18f(x) .9.已知函数,x)=-x2+2x+3，则函数(3x-2)的定义域为解析：由-x2+2x+3≥0，解得-1≤x≤3，即f(x)的定义域为[-1,3] .由-1≤3x-2≤3，解得≤x≤33则函数(3x-2)的定义域为[1,答案:[10.已知函数(x)=ax一b(a>0)，且((x)=4x一3，则(x)=解析：易知(f(x)=a(ax-b)-b=a'x-ab-b,..a2x -ab-b=4x-3(a>0),[α=4,[a=2,解得[b= 1.[ab+b=3, f(x) = 2x - 1.答案：2x—17,x<0,若,(a)<1，求实数a的取值范围.11.设函数(x)[,x≥0,解：若a<0,则(a)<1-()- 7<1(<8，解得>-3，故-3<a<0;若 a≥0 ,则(a)<1Va<1 ,解得a<1，故0≤a<1.综上可得-3<a<12,-1,12.(2021·海南调研）已知函数(x)x+1,x>-1,(1)求((一2)的值;(2)求不等式,f(x)≥2 的解集。第15页共160页
第 15 页 共 160 页 ＝18x－|18x|＝18(x－|x|)＝18f(x)；若f(x)＝x＋2，则f(18x)＝18x＋2，而18f(x)＝18x＋18×2， 故 f(x)＝x＋2 不满足 f(18x)＝18f(x)；若 f(x)＝－2x，则 f(18x)＝－2×18x＝18×(－2x)＝ 18f(x)． 9．已知函数 f(x)＝ －x 2＋2x＋3，则函数 f(3x－2)的定义域为_． 解析：由－x 2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3， 即 f(x)的定义域为[－1,3]． 由－1≤3x－2≤3，解得1 3 ≤x≤ 5 3 ， 则函数 f(3x－2)的定义域为 1 3 ， 5 3 . 答案： 1 3 ， 5 3 10．已知函数 f(x)＝ax－b(a>0)，且 f(f(x))＝4x－3，则 f(x)＝_. 解析：易知 f(f(x))＝a(ax－b)－b＝a 2x－ab－b， ∴a 2x－ab－b＝4x－3(a>0)， ∴ a 2＝4， ab＋b＝3， 解得 a＝2， b＝1. ∴f(x)＝2x－1. 答案：2x－1 11．设函数 f(x)＝ 1 2 x－7，x<0， x，x≥0， 若 f(a)<1，求实数 a 的取值范围． 解：若 a<0，则 f(a)<1⇔ 1 2 a－7<1⇔ 1 2 a<8，解得 a>－3，故－3<a<0； 若 a≥0，则 f(a)<1⇔ a<1， 解得 a<1，故 0≤a<1. 综上可得－3<a<1. 12．(2021·海南调研)已知函数 f(x)＝ 2 －x，x≤－1， x＋1，x>－1， (1)求 f(f(－2))的值； (2)求不等式 f(x)≥2 的解集．