a03a=923(1)=0,..a+b=解得2(b=- 3,(2) =0 ,[答案] (1)D(2)2[解题技法]已知函数的定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式（组）或方程，然后求解。[跟踪训练]1.如果函数f(x)=In(一2x十a)的定义域为(一co，1)，那么实数a的值为(A. -2B. -1C. 1D. 2a解析：选D因为-2x+a>0，所以x<2=1，所以a=2.所以2.函数y=~4-x的定义域为(4-x≥0,x2-1解析：由题意得0x-2Cr-2+0,解得-2≤x<-1或-1<<1或1<<2所以原函数的定义域为[-2，-1)U(-1,1)U(1,2）答案: [-2,—1)U(-1,1)U(1,2)考点二求函数的解析式[师生共研过关]【例4]求下列函数的解析式：(1)已知f(1一sinx)=cosx，求(x)的解析式；2)已知八=x4+-，求x)的解析式；(3)已知(x)是一次函数且 3f(x+1)一2f(x一1)=2x+17，求(x)的解析式;(4)定义在(一1,1)内的函数f(x)满足2(x)一f(一x)=lg(x十1)，求f(x)的解析式共160页第6页
第 6 页 共 160 页 ∴ a<0， f(1)＝0， f(2)＝0， 解得 a＝－ 3 2 ， b＝－3， ∴a＋b＝－ 9 2 . [答案] (1)D (2)－ 9 2 [解题技法] 已知函数的定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)或方程，然 后求解． [跟踪训练] 1．如果函数 f(x)＝ln(－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数 a 的值为( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选 D 因为－2x＋a>0，所以 x< a 2 ， 所以a 2 ＝1，所以 a＝2. 2．函数 y＝ 4－x 2－ x 2－1 x－2 0 的定义域为_． 解析：由题意得 4－x 2≥0， x 2－1 x－2 ≠0， x－2≠0， 解得－2≤x<－1 或－1<x<1 或 1<x<2. 所以原函数的定义域为[－2，－1)∪(－1,1)∪(1,2)． 答案：[－2，－1)∪(－1,1)∪(1,2) 求函数的解析式 [师生共研过关] [例 4] 求下列函数的解析式： (1)已知 f(1－sin x)＝cos2x，求 f(x)的解析式； (2)已知 f x 2＋ 1 x 2 ＝x 4＋ 1 x 4，求 f(x)的解析式； (3)已知 f(x)是一次函数且 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求 f(x)的解析式； (4)定义在(－1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求 f(x)的解析式．
[解](1)(换元法)设1-sinx=t,tE[0,2] ,则sinx=1-t,=(1-sinx)=cosx=1-sinx,: f(t) =1 - (1 - t)2 = 2t - f, tE[0,2] .即 F(x) =2x -x2 , xE[0,2] (2)(配凌法):(+)-(+)-2f(x)=x2 - 2, xE[2, +80) .(3)(待定系数法):/(x)是一次函数，可设(x)=ax+b(a0)，. 3[a(x + 1) + b] - 2[a(x - 1) + b] = 2x + 17.即ax + (5a + b)=2x + 17 ,[a=2 ,[a=2 ,解得.[b= 7.[5a+b=17,f(x)的解析式是f(x)=2x+7.(4)(消去法)当xE(-1,1)时，有2f(x)--x)=lg(x+1).①以-x代替x得,2f(-x)-J(x)=lg(-x+1).②由①②消去几-x)得，Jx)=§g(x+1) +ig(1 - x) , xE( - 1,1) .[解题技法]函数解析式的求法（1）待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数八g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围：(3)配凑法：由已知条件八g(x)=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，可得(x)的解析式；(4)消去法：已知,(x)与/)或(-x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出(x）.[跟踪训练]第7页共160页
第 7 页 共 160 页 [解] (1)(换元法)设 1－sin x＝t，t∈[0,2]， 则 sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f(t)＝1－(1－t) 2＝2t－t 2，t∈[0,2]． 即 f(x)＝2x－x 2，x∈[0,2]． (2)(配凑法)∵f x 2＋ 1 x 2 ＝ x 2＋ 1 x 2 2－2， ∴f(x)＝x 2－2，x∈[2，＋∞)． (3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数， 可设 f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17. 即 ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴ a＝2， 5a＋b＝17， 解得 a＝2， b＝7. ∴f(x)的解析式是 f(x)＝2x＋7. (4)(消去法)当 x∈(－1,1)时，有 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．① 以－x 代替 x 得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．② 由①②消去 f(－x)得， f(x)＝ 2 3 lg(x＋1)＋ 1 3 lg(1－x)，x∈(－1,1)． [解题技法] 函数解析式的求法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替 代 g(x)，可得 f(x)的解析式； (4)消去法：已知 f(x)与 f 1 x 或 f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个 等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)． [跟踪训练]
1.已知函数(x-1)=，则函数(x)的解析式为(++1x+1xA. J(x)=B. f(x)=x+2x+1C. N)=-二11D. f(x)=xx+2t+1解析：选A令x-1=t，则x=t+1，?f(0)=t+2x+1即f(x)=.故选A.x+22.若二次函数g(x)满足g(1)=1，g(一1)=5，且图象过原点，则 g(x)=解析：设g(x)=axz+bx+c(a0)，g(1)=1，g(-1)=5，且图象过原点，[a+b+c=l,a=3,解得b=-2,a-b+c=5,(c=0,(C=0,g(x) = 3x2 - 2x.答案：3x2—2x)=3x, 则,(x)=3.已知(x)满足2f(x)+八1)=3x,@解析：=2f(x)+八1)+x)=10把①中的x换成，得220) += 3x联立②可得3)=解此方程组可得(x)=2x-(x0).1答案：2x(x±0)考点分段函数[定向精析突破]考向1分段函数求值第8页共160页
第 8 页 共 160 页 1．已知函数 f(x－1)＝ x x＋1 ，则函数 f(x)的解析式为( ) A．f(x)＝ x＋1 x＋2 B．f(x)＝ x x＋1 C．f(x)＝ x－1 x D．f(x)＝ 1 x＋2 解析：选 A 令 x－1＝t，则 x＝t＋1，∴f(t)＝ t＋1 t＋2 ， 即 f(x)＝ x＋1 x＋2 .故选 A. 2．若二次函数 g(x)满足 g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则 g(x)＝_. 解析： 设 g(x) ＝ax2 ＋bx＋c(a≠0)，∵ g(1)＝1，g( －1)＝5，且图象过原点，∴ a＋b＋c＝1， a－b＋c＝5， c＝0， 解得 a＝3， b＝－2， c＝0， ∴g(x)＝3x 2－2x. 答案：3x 2－2x 3．已知 f(x)满足 2f(x)＋f 1 x ＝3x，则 f(x)＝_. 解析：∵2f(x)＋f 1 x ＝3x，① 把①中的 x 换成1 x ，得 2f 1 x ＋f(x)＝ 3 x .② 联立①②可得 2f(x)＋f 1 x ＝3x， 2f 1 x ＋f(x)＝ 3 x ， 解此方程组可得 f(x)＝2x－ 1 x (x≠0)． 答案：2x－ 1 x (x≠0) 分段函数 [定向精析突破] 考向 1 分段函数求值
S[例5] (1)已知(x)llog3x，x>0,[x-3, x≥9,则(7)=(2)已知f(x)=[≤(x+4), x<9,[解析] (1):)=10g,= - 2(C)={ -2)=()-=9.(2):7<9 ,: f(7) =f((7 + 4)=f(f(11) =f(11 - 3)=(8) .又：8<9, f(8) =f((12)) = f(9) =9 - 3 = 6.即,(7) =6.[答案 (1)9 (2)6考向2分段函数与方程、不等式问题[1+x, x≤0,[例6](1)(2021·六校联暨第二次联考)已知函数/(x)=若(x-4)>(2x[1, x>0,一3)，则实数x的取值范围是(YA. (-1, +)B. (-8,-1)C. (1,4)D. (-8, 1)[log2(3-x)，x≤0,若 (a-1)则实数(2)(2021·广东省七校联考)已知函数(x)=[2x—1, x>0,a=[1+x2, x≤0,[解析】 (1)函数(x) =在（-80，0上是减函数，在(0，+)上函数值(1,x>0,[x-4<0,保持不变，若(x-4)>(2x-3)，则或x-4<2x-3≤0，解得xE（-1，4)，[2x-3≥0故选C.6,4-0=22，故a=4-2，不满足a≤1，舍(2)当a-1≤0,即a≤1时,log2(4-a)=去.第9页共160页
第 9 页 共 160 页 [例 5] (1)已知 f(x)＝ 1 3 x，x≤0， log3x，x>0， 则 f f 1 9 ＝_； (2)已知 f(x)＝ x－3，x≥9， f(f(x＋4))，x<9， 则 f(7)＝_. [解析] (1)∵f 1 9 ＝log3 1 9 ＝－2， ∴f f 1 9 ＝f(－2)＝ 1 3 －2＝9. (2)∵7<9， ∴f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)＝f(8)． 又∵8<9， ∴f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝9－3＝6. 即 f(7)＝6. [答案] (1)9 (2)6 考向 2 分段函数与方程、不等式问题 [例 6] (1)(2021·六校联盟第二次联考)已知函数f(x)＝ 1＋x 2，x≤0， 1，x＞0， 若f(x－4)＞f(2x －3)，则实数 x 的取值范围是( ) A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1) C．(－1,4) D．(－∞，1) (2)(2021·广东省七校联考)已知函数 f(x)＝ log2(3－x)，x≤0， 2 x－1，x＞0， 若 f(a－1)＝ 1 2 ，则实数 a＝_. [解析] (1)函数 f(x)＝ 1＋x 2，x≤0， 1，x＞0， 在(－∞，0]上是减函数，在(0，＋∞)上函数值 保持不变，若 f(x－4)＞f(2x－3)，则 x－4＜0， 2x－3≥0 或 x－4＜2x－3≤0，解得 x∈(－1，4)， 故选 C. (2)当 a－1≤0，即 a≤1 时，log2(4－a)＝ 1 2 ，4－a＝2 1 2 ，故 a＝4－2 1 2 ，不满足 a≤1，舍 去．
2-1=3当a-1>0,即a>1时,2a-1-1=，解得a=log23，满足a>1综上可得a22= log23.[答案】 (1)C (2)log23[规律探求]考向1是求分段函数的函数值考向2是在考向1的基础上迁移考查分段函数中，已知函数值或不等关系求参数或自变量的值或范围。解与分段函数有关的方程或不等看个性式，从而求得自变量或参数的取值（范围)时，应根据每一段的解析式分别求解；解得值（范围)后一定要检验其是否符合相应段的自变量的取值范围(1)无论考向1还是考向2都要根据自变量或参数所在区间来解决问题，搞清参数或自变量所在区间是解决问题的先决条件；找共性(2)解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用哪一段的解析式来解决问题[跟踪训练]1.（多选)如图是反映某条公交线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）与乘客量x之间关系的图象。由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示，ATA图?图?图?则下列说法中，正确的有（）A．图②的建议：提高成本，并提高票价B.图②的建议：降低成本，并保持票价不变C.图③的建议：提高票价，并保持成本不变D.图③的建议：提高票价，并降低成本解析：选BC根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正第10页共160页
第 10 页 共 160 页 当 a－1＞0，即 a＞1 时，2 a－1－1＝ 1 2 ，2 a－1＝ 3 2 ，解得 a＝log23，满足 a＞1.综上可得 a ＝log23. [答案] (1)C (2)log23 [规律探求] 看个性 考向 1 是求分段函数的函数值． 考向 2 是在考向 1 的基础上迁移考查分段函数中，已知函数值或不等 关系求参数或自变量的值或范围．解与分段函数有关的方程或不等 式，从而求得自变量或参数的取值(范围)时，应根据每一段的解析式分 别求解；解得值(范围)后一定要检验其是否符合相应段的自变量的取值 范围 找共性 (1)无论考向 1 还是考向 2 都要根据自变量或参数所在区间来解决问 题，搞清参数或自变量所在区间是解决问题的先决条件； (2)解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属 于哪一段范围，就用哪一段的解析式来解决问题 [跟踪训练] 1．(多选)如图①是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y 与乘客量 x 之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整 的建议，如图②③所示． 则下列说法中，正确的有( ) A．图②的建议：提高成本，并提高票价 B．图②的建议：降低成本，并保持票价不变 C．图③的建议：提高票价，并保持成本不变 D．图③的建议：提高票价，并降低成本 解析：选 BC 根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客 量为 0 时，收入是 0 但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故 B 正