第七节方向导数与梯度2.方向导数与偏导数的关系设函数 z=f (x,y)在点Po(xo,yo)的偏导数存在,元时,当l与x轴同向即ej=(1,0)（α=0,β==2aff(xo +t, yo) - f(x, ) = f(x, y).limalt1->0+I(xo,yo)时,当l与x轴反向即ej=(-1,0)（α=元,β="2aff(xo -t, o)- f(x,y) = -f(x, y).= limalt1-→0+l(xo,yo)MathGS上页下页返回公式线与面数学家
第七节 方向导数与梯度 2. 方向导数与偏导数的关系 设函数 z = f (x , y)在点P0 (x0 , y0 )的偏导数存在， 当 l 与 x 轴同向即 el = (1 , 0) ( ) 2 π α = 0, β = 时， ( , ) . ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) 0 lim 0 0 f x y t f f x t y f x y x x y t = + − = l → + 当 l 与 x 轴反向即 el = (-1 , 0) ( ) 2 π α = π, β = 时， ( , ) . ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) 0 lim 0 0 f x y t f f x t y f x y x x y t = − − − = l → +
第七节方向导数与梯度反之，即使e;=(1,0)和e;=(-1,0)时两个方向导数都存在，但f(xo,yo)不一定存在例如，z=x2+y2在(0,0)处一当ej=(1,0)时,aff(t, 0)- f(0,0)=1: limxalt(0,0)t-→0+aff(-t, 0)- f(0,0)1当e;= (-1 ,0)时,:lim一alt1(0,0)t0+而偏导数f.(0,0)不存在上页下页返回MathGS公式数学家线与面
第七节 方向导数与梯度 x y z 反之，即使el = (1 , 0)和el = (-1 , 0)时两个方向导数 都存在，但 fx (x0 , y0 )不一定存在. 例如， 2 2 z = x + y 在(0 , 0)处， 当el = (1 , 0) 时, 1; ( , 0) (0,0) lim (0,0) 0 = − = → + t f f t f t l 当el = (-1 , 0) 时, 1. ( , 0) (0,0) lim (0,0) 0 = − − = → + t f f t f t l 而偏导数 fx (0 , 0)不存在
第七节方向导数与梯度综上所述：（1）偏导数存在，只能保证函数沿平行于坐标轴方向的方向导数存在，而不能保证沿其它方向的方向导数存在;(2）函数沿任意方向的方向导数存在，也不能保证偏导数存在，那么，函数到底满足什么条件时，方向导数一定存在，如何计算呢？下面的定理给出了回答，返回MathGS公式上页下页线与面数学家
第七节 方向导数与梯度 综上所述： (1) 偏导数存在，只能保证函数沿平行于坐标轴方向 的方向导数存在，而不能保证沿其它方向的方向导数存 在； (2)函数沿任意方向的方向导数存在，也不能保证偏 导数存在． 那么，函数到底满足什么条件时，方向导数一定存 在，如何计算呢？ 下面的定理给出了回答．
第七节方向导数与梯度3.方向导数存在的条件及计算定理女如果函数f(x，J）在点Poxo，yo）可微分，那么函数在该点沿任意方向1的方向导数存在，且有of=f(xo,o)cosα+f,(xo,yo)cosβal(xo.yo）其中cosα，cosβ是方向I的方向余弦证明台yaPoAr0xMathGS上页下页返回公式线与面数学家
第七节 方向导数与梯度 3. 方向导数存在的条件及计算 定理 如果函数 f (x , y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 可微分，那 么函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在，且有 ( , ) cos ( , ) cos , 0 0 0 0 ( , ) 0 0 f x y f x y f x y x y = + l 其中 cos , cos 是方向 l 的方向余弦． 第七节 方向导数与梯度 证明 定理 如果函数 f (x , y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 可微分，那 么函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在，且有 其中 cos , cos 是方向 l 的方向余弦． 由假设 f (x , y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 可微分， 故有 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + x y + y − f x y ( , ) ( , ) ( ( ) ( ) ). 2 2 0 0 0 0 f x y x f x y y o x y = x + y + + x y P0 P l x y t O
第七节方向导数与梯度同理可证：如果函数f(x，y，z)在点Po(xo,yo，zo）可微分，那么函数在该点沿着e=cosα，cosβ，cos)的方向导数为aff.(xo,yo,zo)cosα+ f,(xo,yo,zo)cosβ+ f.(xo,yo,zo)cosyal(xo,y0)返回MathGS公式数学家上页下页线与面
第七节 方向导数与梯度 同理可证： 如果函数 f (x , y , z) 在点 P0 (x0 , y0 , z0 ) 可微分，那么 函数在该点沿着el = (cos , cos , cos)的方向导数为 ( , , ) cos ( , , ) cos ( , , ) cos . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 f x y z f x y z f x y z f x y z x y = + + l