例2证明：向量β=(-1,1,5)是向量 α,=(1,2,3)，αz=(0,1,4)，α,=(2,3,6)的线性组合，并将β用αi,α2,α,线性表示。证明考虑线性方程组（αi,α2,α)X=β2 -1000021102 -1i+r1-130A=福221 34rz+r3113r+r84000X003465因R(A:b)=R(A)，故方程组有解，且β可用αi,α2,α,线性表示为β=α+2α2-α
例2 证明：向量 是向量 的线性 组合，并将 用 线性表示。 T (1,1,5) T T T (1,2,3) (0,1,4) (2,3,6) 1 ，2 ，3 1 2 3 , , 证明 考虑线性方程组 ( , , ) 1 2 3 X 5 1 1 3 4 6 2 1 3 1 0 2 A 8 3 1 0 4 0 0 1 1 1 0 2 3 2 1 3 1 2 r r r r 4 3 1 0 0 4 0 1 1 1 0 2 4 2 3 r r 1 2 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 因 R(Ab) R(A) ，故方程组有解，且 可用 1 , 2 ,3 线性表示为 1 22 3
α与α,α,… αn必为且仅为一下三种情形之一:1).α可由α,α………，α,线性表示，且表达式唯一;2).α可由αi,α2……α,线性表示，但表达式不唯一;3).α不能由α1,α……,α,线性表示加油！
与1 ,2 ,., n 必为且仅为一下三种情形之一： 1). 可由1 ,2 ,., n线性表示，且表达式唯一； 2).可由1 ,2 ,., n线性表示，但表达式不唯一； 3).不能由1 ,2 ,., n线性表示