3-4线性方程组解的结构一、齐次线性方程组iax+a2x2+L +a,,=0即 AX=01a2xj+a22x+L+a2nx,=0IL L L1amX +am2X2+L +ammX,=0已有结论：1°AX=0 必有零解：2°AX=0只有零解R(A) =nA的列向量组线性无关3°AX =0 有非零解 R(A)<nA的列向量组线性相关
3-4 线性方程组解的结 一、齐次线性方程组 构 即 已有结论： 1° 必有零解： 2° 只有零解 A 的列向量组线性无关 3° 有非零解 A 的列向量组线性相关
证明：只需证明x，+x，满足齐次线性方程组即可Q Ax, = 0, Ax, = 0/A(x, +x,)=Ax, +Ax =0故x=x,+x,也是Ax=0的解加油！
证明：
Q A(kx)= kA(x)= k0 = 0.证明1kx也是齐次线性方程组的解向量加油！
证明
性质3 AX=0 的解向量的线性组合仍为AX=0的解设1，2…，，为AX=0的解向量，证则A(k,,+k,2+...+k,)= A(k ) + A(k, 2)+ ...+A(k,s)=kjA,+k,A2+...+kA= kj 0+k, 0+...+ k,0=0.所以，k,,+k,,+...+k,，仍为AX=0的解.加油！
性质3 AX = 0 的解向量的线性组合仍为AX = 0的解. 证 设 1 , 2 , ., s 为AX = 0 的解向量， 则 A(k1 1+ k2 2+ .+ ks s ) = A(k1 1 ) + A(k2 2 )+ .+ A(ks s ) = k1 A 1 + k2 A 2 + .+ ksA s = k1 0 + k2 0 + .+ ks0 = 0. 所以，k1 1+ k2 2+ .+ ks s 仍为AX = 0的 解
定义齐次方程组AX=0的全体解的集合称为AX=0的解空间，解空间的任一组基称为AX=0 的一个基础解系。注AX=0的解的全体构成WW=[XR"|AX=0’为R"的子空间AX=0的基础解系：（也称为W的一组基）10若xx,L口x，线性无关；2°AX=0的任一解向量均可由xxLx，线性表出则称xx,Lx为AX=0的一个基础解系
定义 齐次方程组 的全体解的集合称为 的解空间，解空间的任一 组基称为 的一个基础解系。 注 W ={X Rn | AX = 0} 为Rn的子空间 AX = 0的基础解系：（也称为W 的一组基） 1 o 若 线性无关; 2 o AX = 0的任一解向量均可由 线性表出 则称 为AX = 0 的一个基础解系. AX = 0的解的全体构成W