《线性代数》课程教学资源（讲稿B，高教版）第三章 n维向量空间 3-2 向量组的线性相关性

d,CinC1s2°←30 设R(A)=r.::d.CrsCrm行初等变换A-=(B,d)dr+10.0AX=b与BX=d同解所以 AX= b有解台 dr+1 =0 台R(B, d)=R(B)= r R(A) = R(A)

2 o 3 o 设 R(A) = r, AX = b与BX = d 同解. AX = b有解  dr+1 = 0  R(B, d) = R(B) = r  R A R A ( ) ( ).  11 1 1 1 1 ( , ), 0 s n rs rn r r c c c d c c d A B d d O                      行初等变换 所以

ax,+ax,+..+ainx,=ba21+a22x+..+a2nx,=b,[amX,+am2X, +...+ammX,=b,branjb2azji=1,2,..,nβ=.bm)ami)xia +x,α, +...+x,α, = β

                   m m m n n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1,2, , j j j mj a a j n a                  1 2 m b b b                1 1 2 2 n n x x x       

β=x,α, +x,α, +...+x,αn（1）线性方程组有唯一解时，β能由向量组α1,α,……,α,线性表示且表达式唯一;（2）线性方程组有无穷多解时，β能由向量组α1,α……，α,线性表示且表达式不唯一;（3）当线性方程组无解时,β不能由向量α1,α2....,αm线性表示

（1）线性方程组有唯一解时， 能由向量组 1 ,2 ,., n线性表示且表达式唯一； （3）当线性方程组无解时, 不能由向量 1 ,2 ,., m线性表示。 = 1 1 2 2 n n     x x x   （2）线性方程组有无穷多解时， 能由向量组 1 ,2 ,., n线性表示且表达式不唯一；

单选题1分设置非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则下述结论正确的是（）r=n时，方程组Ax=b有唯一解m=n时，方程组Ax-b有唯一解r<n时，方程组Ax=b有无穷多解r=m时，方程组Ax=b有解提交

非齐次线性方程组Ax=b中未知量个 数为n，方程个数为m，系数矩阵A的 秩为r，则下述结论正确的是（ ） r=n时，方程组Ax=b 有唯一解 m=n时，方程组Ax=b 有唯一解 r<n时，方程组Ax=b 有无穷多解 r=m时，方程组Ax=b 有解 A B C D 提交 单选题 1分

x+x=2有解？例1当取何值时，线性方程组135x, +4x, =32x,+4x2=元121121211=18-1-70-70-1解：增广矩阵5A300201-4元-1824元(2)(1)(1)35即向量b=线性表示。可由向量组α=4αz =(18)24其几何意义是b在α，α组成的平面上，也即三个向量共面

例1 当  取何值时，线性方程组 有解？            1 2  1 2 1 2 2 4 5 4 3 2 x x x x x x 解：增广矩阵           2 4  5 4 3 1 1 2               0 2 4 0 1 7 1 1 2                0 0 18 0 1 7 1 1 2   18 即向量 可由向量组 线性表示。            18 3 2 b                       4 4 1 , 2 5 1 1 2 其几何意义是 b 在 1 , 2 组成的平面上，也即三个向量共面